Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68666 / 72677
↖ ↑ ↗
← S 19.241143°
E  8.596802°		 ← 288.30 m → S 19.241143°
E  8.599548°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
S 19.243736°
E  8.596802°		 ← 288.30 m →
83 132 m²		 S 19.243736°
E  8.599548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523883819580078 y=0.554485321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523883819580078 × 217)
    floor (0.523883819580078 × 131072)
    floor (68666.5)     		tx = 68666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554485321044922 × 217)
    floor (0.554485321044922 × 131072)
    floor (72677.5)     		ty = 72677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68666 / 72677 ti = "17/68666/72677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68666/72677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68666 ÷ 217
    68666 ÷ 131072     		x = 0.523880004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72677 ÷ 217
    72677 ÷ 131072     		y = 0.554481506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523880004882812 × 2 - 1) × π
    0.047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15004250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554481506347656 × 2 - 1) × π
    -0.108963012695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.342317400186821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15004250} λ = 0.15004250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342317400186821))-π/2
    2×atan(0.710122775833771)-π/2
    2×0.61748751446175-π/2
    1.2349750289235-1.57079632675     		φ = -0.33582130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15004250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.596802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33582130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.241143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68666 KachelY 72677 0.15004250 -0.33582130 8.596802 -19.241143
    Oben rechts KachelX + 1 68667 KachelY 72677 0.15009043 -0.33582130 8.599548 -19.241143
    Unten links KachelX 68666 KachelY + 1 72678 0.15004250 -0.33586656 8.596802 -19.243736
    Unten rechts KachelX + 1 68667 KachelY + 1 72678 0.15009043 -0.33586656 8.599548 -19.243736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33582130--0.33586656) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33582130--0.33586656) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(-0.33582130) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944139973025514 × 6371000     		do = 288.304498767226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(-0.33586656) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944125056865237 × 6371000     		du = 288.299943938244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33582130)-sin(-0.33586656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944139973025514-0.944125056865237)×R²
    abs(0.15009043-0.15004250)×1.49161602768233e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49161602768233e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49161602768233e-05×40589641000000     		ar = 83132.3664625011m²