Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68666 / 48340
↖ ↑ ↗
← N 42.642041°
E  8.596802°		 ← 224.62 m → N 42.642041°
E  8.599548°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
N 42.640020°
E  8.596802°		 ← 224.63 m →
50 461 m²		 N 42.640020°
E  8.599548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523883819580078 y=0.368808746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523883819580078 × 217)
    floor (0.523883819580078 × 131072)
    floor (68666.5)     		tx = 68666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368808746337891 × 217)
    floor (0.368808746337891 × 131072)
    floor (48340.5)     		ty = 48340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68666 / 48340 ti = "17/68666/48340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68666/48340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68666 ÷ 217
    68666 ÷ 131072     		x = 0.523880004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48340 ÷ 217
    48340 ÷ 131072     		y = 0.368804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523880004882812 × 2 - 1) × π
    0.047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15004250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368804931640625 × 2 - 1) × π
    0.26239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824322925866486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15004250} λ = 0.15004250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824322925866486))-π/2
    2×atan(2.2803362858099)-π/2
    2×1.15752016919296-π/2
    2.31504033838592-1.57079632675     		φ = 0.74424401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15004250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.596802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74424401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.642041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68666 KachelY 48340 0.15004250 0.74424401 8.596802 42.642041
    Oben rechts KachelX + 1 68667 KachelY 48340 0.15009043 0.74424401 8.599548 42.642041
    Unten links KachelX 68666 KachelY + 1 48341 0.15004250 0.74420875 8.596802 42.640020
    Unten rechts KachelX + 1 68667 KachelY + 1 48341 0.15009043 0.74420875 8.599548 42.640020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74424401-0.74420875) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74424401-0.74420875) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(0.74424401) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.735600232182474 × 6371000     		do = 224.624380167719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(0.74420875) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.735624117409747 × 6371000     		du = 224.631673809206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74424401)-sin(0.74420875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735600232182474-0.735624117409747)×R²
    abs(0.15009043-0.15004250)×2.38852272728129e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38852272728129e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38852272728129e-05×40589641000000     		ar = 50460.7679448899m²