Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68666 / 43709
↖ ↑ ↗
← N 51.294559°
E  8.596802°		 ← 190.95 m → N 51.294559°
E  8.599548°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 51.292841°
E  8.596802°		 ← 190.96 m →
36 472 m²		 N 51.292841°
E  8.599548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523883819580078 y=0.333477020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523883819580078 × 217)
    floor (0.523883819580078 × 131072)
    floor (68666.5)     		tx = 68666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333477020263672 × 217)
    floor (0.333477020263672 × 131072)
    floor (43709.5)     		ty = 43709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68666 / 43709 ti = "17/68666/43709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68666/43709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68666 ÷ 217
    68666 ÷ 131072     		x = 0.523880004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43709 ÷ 217
    43709 ÷ 131072     		y = 0.333473205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523880004882812 × 2 - 1) × π
    0.047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15004250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333473205566406 × 2 - 1) × π
    0.333053588867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04631870800697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15004250} λ = 0.15004250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04631870800697))-π/2
    2×atan(2.84715060946097)-π/2
    2×1.23302763172918-π/2
    2.46605526345836-1.57079632675     		φ = 0.89525894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15004250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.596802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89525894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.294559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68666 KachelY 43709 0.15004250 0.89525894 8.596802 51.294559
    Oben rechts KachelX + 1 68667 KachelY 43709 0.15009043 0.89525894 8.599548 51.294559
    Unten links KachelX 68666 KachelY + 1 43710 0.15004250 0.89522896 8.596802 51.292841
    Unten rechts KachelX + 1 68667 KachelY + 1 43710 0.15009043 0.89522896 8.599548 51.292841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89525894-0.89522896) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89525894-0.89522896) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(0.89525894) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625316768083381 × 6371000     		do = 190.947997694987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(0.89522896) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.625340163325745 × 6371000     		du = 190.955141713687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89525894)-sin(0.89522896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625316768083381-0.625340163325745)×R²
    abs(0.15009043-0.15004250)×2.33952423641659e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33952423641659e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33952423641659e-05×40589641000000     		ar = 36472.2424713712m²