Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68666 / 43593
↖ ↑ ↗
← N 51.493355°
E  8.596802°		 ← 190.12 m → N 51.493355°
E  8.599548°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
N 51.491645°
E  8.596802°		 ← 190.13 m →
36 145 m²		 N 51.491645°
E  8.599548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523883819580078 y=0.332592010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523883819580078 × 217)
    floor (0.523883819580078 × 131072)
    floor (68666.5)     		tx = 68666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332592010498047 × 217)
    floor (0.332592010498047 × 131072)
    floor (43593.5)     		ty = 43593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68666 / 43593 ti = "17/68666/43593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68666/43593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68666 ÷ 217
    68666 ÷ 131072     		x = 0.523880004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43593 ÷ 217
    43593 ÷ 131072     		y = 0.332588195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523880004882812 × 2 - 1) × π
    0.047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15004250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332588195800781 × 2 - 1) × π
    0.334823608398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05187938836289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15004250} λ = 0.15004250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05187938836289))-π/2
    2×atan(2.86302680423839)-π/2
    2×1.23476245481599-π/2
    2.46952490963198-1.57079632675     		φ = 0.89872858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15004250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.596802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89872858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.493355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68666 KachelY 43593 0.15004250 0.89872858 8.596802 51.493355
    Oben rechts KachelX + 1 68667 KachelY 43593 0.15009043 0.89872858 8.599548 51.493355
    Unten links KachelX 68666 KachelY + 1 43594 0.15004250 0.89869874 8.596802 51.491645
    Unten rechts KachelX + 1 68667 KachelY + 1 43594 0.15009043 0.89869874 8.599548 51.491645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89872858-0.89869874) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dl = 190.110639999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89872858-0.89869874) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dr = 190.110639999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(0.89872858) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62260540308285 × 6371000     		do = 190.120049774354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15004250-0.15009043) × cos(0.89869874) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.622628753678384 × 6371000     		du = 190.127180159608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89872858)-sin(0.89869874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62260540308285-0.622628753678384)×R²
    abs(0.15009043-0.15004250)×2.3350595533711e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3350595533711e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3350595533711e-05×40589641000000     		ar = 36144.522123107m²