Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68665 / 43737
↖ ↑ ↗
← N 51.246444°
E  8.594055°		 ← 191.19 m → N 51.246444°
E  8.596802°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 51.244725°
E  8.594055°		 ← 191.20 m →
36 555 m²		 N 51.244725°
E  8.596802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523876190185547 y=0.333690643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523876190185547 × 217)
    floor (0.523876190185547 × 131072)
    floor (68665.5)     		tx = 68665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333690643310547 × 217)
    floor (0.333690643310547 × 131072)
    floor (43737.5)     		ty = 43737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68665 / 43737 ti = "17/68665/43737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68665/43737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68665 ÷ 217
    68665 ÷ 131072     		x = 0.523872375488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43737 ÷ 217
    43737 ÷ 131072     		y = 0.333686828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523872375488281 × 2 - 1) × π
    0.0477447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14999456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333686828613281 × 2 - 1) × π
    0.332626342773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0449764748176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14999456} λ = 0.14999456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0449764748176))-π/2
    2×atan(2.84333163296969)-π/2
    2×1.23260775145547-π/2
    2.46521550291093-1.57079632675     		φ = 0.89441918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14999456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.594055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89441918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.246444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68665 KachelY 43737 0.14999456 0.89441918 8.594055 51.246444
    Oben rechts KachelX + 1 68666 KachelY 43737 0.15004250 0.89441918 8.596802 51.246444
    Unten links KachelX 68665 KachelY + 1 43738 0.14999456 0.89438917 8.594055 51.244725
    Unten rechts KachelX + 1 68666 KachelY + 1 43738 0.15004250 0.89438917 8.596802 51.244725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89441918-0.89438917) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89441918-0.89438917) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14999456-0.15004250) × cos(0.89441918) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625971871894173 × 6371000     		do = 191.187922192448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14999456-0.15004250) × cos(0.89438917) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625995274779823 × 6371000     		du = 191.195070036116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89441918)-sin(0.89438917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625971871894173-0.625995274779823)×R²
    abs(0.15004250-0.14999456)×2.340288565017e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.340288565017e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.340288565017e-05×40589641000000     		ar = 36554.6114653517m²