Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68664 / 48340
↖ ↑ ↗
← N 42.642041°
E  8.591308°		 ← 224.67 m → N 42.642041°
E  8.594055°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
N 42.640020°
E  8.591308°		 ← 224.68 m →
50 471 m²		 N 42.640020°
E  8.594055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523868560791016 y=0.368808746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523868560791016 × 217)
    floor (0.523868560791016 × 131072)
    floor (68664.5)     		tx = 68664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368808746337891 × 217)
    floor (0.368808746337891 × 131072)
    floor (48340.5)     		ty = 48340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68664 / 48340 ti = "17/68664/48340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68664/48340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68664 ÷ 217
    68664 ÷ 131072     		x = 0.52386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48340 ÷ 217
    48340 ÷ 131072     		y = 0.368804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52386474609375 × 2 - 1) × π
    0.0477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14994662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368804931640625 × 2 - 1) × π
    0.26239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824322925866486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14994662} λ = 0.14994662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824322925866486))-π/2
    2×atan(2.2803362858099)-π/2
    2×1.15752016919296-π/2
    2.31504033838592-1.57079632675     		φ = 0.74424401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14994662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.591308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74424401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.642041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68664 KachelY 48340 0.14994662 0.74424401 8.591308 42.642041
    Oben rechts KachelX + 1 68665 KachelY 48340 0.14999456 0.74424401 8.594055 42.642041
    Unten links KachelX 68664 KachelY + 1 48341 0.14994662 0.74420875 8.591308 42.640020
    Unten rechts KachelX + 1 68665 KachelY + 1 48341 0.14999456 0.74420875 8.594055 42.640020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74424401-0.74420875) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dl = 224.641459999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74424401-0.74420875) × R
    3.52599999999814e-05 × 6371000     		dr = 224.641459999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14994662-0.14999456) × cos(0.74424401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735600232182474 × 6371000     		do = 224.671245258487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14994662-0.14999456) × cos(0.74420875) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735624117409747 × 6371000     		du = 224.678540421702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74424401)-sin(0.74420875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735600232182474-0.735624117409747)×R²
    abs(0.14999456-0.14994662)×2.38852272728129e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38852272728129e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38852272728129e-05×40589641000000     		ar = 50471.2959582257m²