Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68662 / 48343
↖ ↑ ↗
← N 42.635979°
E  8.585816°		 ← 224.69 m → N 42.635979°
E  8.588562°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
N 42.633959°
E  8.585816°		 ← 224.70 m →
50 491 m²		 N 42.633959°
E  8.588562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523853302001953 y=0.368831634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523853302001953 × 217)
    floor (0.523853302001953 × 131072)
    floor (68662.5)     		tx = 68662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368831634521484 × 217)
    floor (0.368831634521484 × 131072)
    floor (48343.5)     		ty = 48343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68662 / 48343 ti = "17/68662/48343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68662/48343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68662 ÷ 217
    68662 ÷ 131072     		x = 0.523849487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48343 ÷ 217
    48343 ÷ 131072     		y = 0.368827819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523849487304688 × 2 - 1) × π
    0.047698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14985075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368827819824219 × 2 - 1) × π
    0.262344360351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.824179115167625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14985075} λ = 0.14985075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824179115167625))-π/2
    2×atan(2.28000837263428)-π/2
    2×1.15746727302488-π/2
    2.31493454604976-1.57079632675     		φ = 0.74413822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14985075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.585816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74413822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.635979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68662 KachelY 48343 0.14985075 0.74413822 8.585816 42.635979
    Oben rechts KachelX + 1 68663 KachelY 48343 0.14989869 0.74413822 8.588562 42.635979
    Unten links KachelX 68662 KachelY + 1 48344 0.14985075 0.74410295 8.585816 42.633959
    Unten rechts KachelX + 1 68663 KachelY + 1 48344 0.14989869 0.74410295 8.588562 42.633959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74413822-0.74410295) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74413822-0.74410295) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14985075-0.14989869) × cos(0.74413822) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735671891893911 × 6371000     		do = 224.69313197888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14985075-0.14989869) × cos(0.74410295) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735695781150223 × 6371000     		du = 224.700428372668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74413822)-sin(0.74410295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735671891893911-0.735695781150223)×R²
    abs(0.14989869-0.14985075)×2.38892563126925e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38892563126925e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38892563126925e-05×40589641000000     		ar = 50490.5281928788m²