Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6866 / 5394
↖ ↑ ↗
← N 52.241256°
W 29.135742°		 ← 1 496.07 m → N 52.241256°
W 29.113770°		 →
↑
1 496.36 m
↓
↑
1 496.36 m
↓
N 52.227799°
W 29.135742°		 ← 1 496.53 m →
2 238 999 m²		 N 52.227799°
W 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419097900390625 y=0.329254150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419097900390625 × 214)
    floor (0.419097900390625 × 16384)
    floor (6866.5)     		tx = 6866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329254150390625 × 214)
    floor (0.329254150390625 × 16384)
    floor (5394.5)     		ty = 5394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6866 / 5394 ti = "14/6866/5394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6866/5394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6866 ÷ 214
    6866 ÷ 16384     		x = 0.4190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5394 ÷ 214
    5394 ÷ 16384     		y = 0.3292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50851463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3292236328125 × 2 - 1) × π
    0.341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07301956109534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50851463} λ = -0.50851463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07301956109534))-π/2
    2×atan(2.92419597073045)-π/2
    2×1.24128912598274-π/2
    2.48257825196548-1.57079632675     		φ = 0.91178193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50851463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91178193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.241256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6866 KachelY 5394 -0.50851463 0.91178193 -29.135742 52.241256
    Oben rechts KachelX + 1 6867 KachelY 5394 -0.50813114 0.91178193 -29.113770 52.241256
    Unten links KachelX 6866 KachelY + 1 5395 -0.50851463 0.91154706 -29.135742 52.227799
    Unten rechts KachelX + 1 6867 KachelY + 1 5395 -0.50813114 0.91154706 -29.113770 52.227799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91178193-0.91154706) × R
    0.000234869999999998 × 6371000     		dl = 1496.35676999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91178193-0.91154706) × R
    0.000234869999999998 × 6371000     		dr = 1496.35676999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50851463--0.50813114) × cos(0.91178193) × R
    0.000383489999999931 × 0.612337935429099 × 6371000     		do = 1496.07310031817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50851463--0.50813114) × cos(0.91154706) × R
    0.000383489999999931 × 0.612523605852758 × 6371000     		du = 1496.52673304332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91178193)-sin(0.91154706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612337935429099-0.612523605852758)×R²
    abs(-0.50813114--0.50851463)×0.000185670423658357×R²
    0.000383489999999931×0.000185670423658357×6371000²
    0.000383489999999931×0.000185670423658357×40589641000000     		ar = 2238998.52056783m²