Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68658 / 64626
↖ ↑ ↗
← N  2.498597°
E  8.574829°		 ← 305.14 m → N  2.498597°
E  8.577576°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N  2.495853°
E  8.574829°		 ← 305.14 m →
93 099 m²		 N  2.495853°
E  8.577576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523822784423828 y=0.493061065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523822784423828 × 217)
    floor (0.523822784423828 × 131072)
    floor (68658.5)     		tx = 68658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493061065673828 × 217)
    floor (0.493061065673828 × 131072)
    floor (64626.5)     		ty = 64626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68658 / 64626 ti = "17/68658/64626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68658/64626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68658 ÷ 217
    68658 ÷ 131072     		x = 0.523818969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64626 ÷ 217
    64626 ÷ 131072     		y = 0.493057250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523818969726562 × 2 - 1) × π
    0.047637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14965900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493057250976562 × 2 - 1) × π
    0.013885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0436225786542511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14965900} λ = 0.14965900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0436225786542511))-π/2
    2×atan(1.04458803065965)-π/2
    2×0.807202538456491-π/2
    1.61440507691298-1.57079632675     		φ = 0.04360875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14965900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04360875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.498597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68658 KachelY 64626 0.14965900 0.04360875 8.574829 2.498597
    Oben rechts KachelX + 1 68659 KachelY 64626 0.14970694 0.04360875 8.577576 2.498597
    Unten links KachelX 68658 KachelY + 1 64627 0.14965900 0.04356086 8.574829 2.495853
    Unten rechts KachelX + 1 68659 KachelY + 1 64627 0.14970694 0.04356086 8.577576 2.495853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04360875-0.04356086) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04360875-0.04356086) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14965900-0.14970694) × cos(0.04360875) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999049289141778 × 6371000     		do = 305.135368432755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14965900-0.14970694) × cos(0.04356086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999051375757308 × 6371000     		du = 305.136005738847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04360875)-sin(0.04356086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999049289141778-0.999051375757308)×R²
    abs(0.14970694-0.14965900)×2.08661553002809e-06×R²
    4.79400000000241e-05×2.08661553002809e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08661553002809e-06×40589641000000     		ar = 93099.0920732668m²