Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68658 / 43229
↖ ↑ ↗
← N 52.111566°
E  8.574829°		 ← 187.57 m → N 52.111566°
E  8.577576°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
N 52.109879°
E  8.574829°		 ← 187.58 m →
35 182 m²		 N 52.109879°
E  8.577576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523822784423828 y=0.329814910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523822784423828 × 217)
    floor (0.523822784423828 × 131072)
    floor (68658.5)     		tx = 68658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329814910888672 × 217)
    floor (0.329814910888672 × 131072)
    floor (43229.5)     		ty = 43229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68658 / 43229 ti = "17/68658/43229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68658/43229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68658 ÷ 217
    68658 ÷ 131072     		x = 0.523818969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43229 ÷ 217
    43229 ÷ 131072     		y = 0.329811096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523818969726562 × 2 - 1) × π
    0.047637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14965900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329811096191406 × 2 - 1) × π
    0.340377807617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.06932841982459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14965900} λ = 0.14965900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06932841982459))-π/2
    2×atan(2.913422246201)-π/2
    2×1.24015736347481-π/2
    2.48031472694963-1.57079632675     		φ = 0.90951840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14965900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90951840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.111566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68658 KachelY 43229 0.14965900 0.90951840 8.574829 52.111566
    Oben rechts KachelX + 1 68659 KachelY 43229 0.14970694 0.90951840 8.577576 52.111566
    Unten links KachelX 68658 KachelY + 1 43230 0.14965900 0.90948896 8.574829 52.109879
    Unten rechts KachelX + 1 68659 KachelY + 1 43230 0.14970694 0.90948896 8.577576 52.109879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90951840-0.90948896) × R
    2.94399999999362e-05 × 6371000     		dl = 187.562239999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90951840-0.90948896) × R
    2.94399999999362e-05 × 6371000     		dr = 187.562239999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14965900-0.14970694) × cos(0.90951840) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614125903299497 × 6371000     		do = 187.569858468511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14965900-0.14970694) × cos(0.90948896) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614149137318885 × 6371000     		du = 187.576954736076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90951840)-sin(0.90948896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614125903299497-0.614149137318885)×R²
    abs(0.14970694-0.14965900)×2.32340193885294e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32340193885294e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32340193885294e-05×40589641000000     		ar = 35181.688309222m²