Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68657 / 43505
↖ ↑ ↗
← N 51.643590°
E  8.572082°		 ← 189.53 m → N 51.643590°
E  8.574829°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 51.641885°
E  8.572082°		 ← 189.54 m →
35 924 m²		 N 51.641885°
E  8.574829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523815155029297 y=0.331920623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523815155029297 × 217)
    floor (0.523815155029297 × 131072)
    floor (68657.5)     		tx = 68657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331920623779297 × 217)
    floor (0.331920623779297 × 131072)
    floor (43505.5)     		ty = 43505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68657 / 43505 ti = "17/68657/43505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68657/43505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68657 ÷ 217
    68657 ÷ 131072     		x = 0.523811340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43505 ÷ 217
    43505 ÷ 131072     		y = 0.331916809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523811340332031 × 2 - 1) × π
    0.0476226806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14961106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331916809082031 × 2 - 1) × π
    0.336166381835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.05609783552946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14961106} λ = 0.14961106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05609783552946))-π/2
    2×atan(2.8751298416123)-π/2
    2×1.23607350217355-π/2
    2.4721470043471-1.57079632675     		φ = 0.90135068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14961106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.572082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90135068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.643590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68657 KachelY 43505 0.14961106 0.90135068 8.572082 51.643590
    Oben rechts KachelX + 1 68658 KachelY 43505 0.14965900 0.90135068 8.574829 51.643590
    Unten links KachelX 68657 KachelY + 1 43506 0.14961106 0.90132093 8.572082 51.641885
    Unten rechts KachelX + 1 68658 KachelY + 1 43506 0.14965900 0.90132093 8.574829 51.641885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90135068-0.90132093) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dl = 189.537249999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90135068-0.90132093) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dr = 189.537249999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14961106-0.14965900) × cos(0.90135068) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.620551377589288 × 6371000     		do = 189.532363708213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14961106-0.14965900) × cos(0.90132093) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.620574706246954 × 6371000     		du = 189.539488880744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90135068)-sin(0.90132093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620551377589288-0.620574706246954)×R²
    abs(0.14965900-0.14961106)×2.33286576654113e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33286576654113e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33286576654113e-05×40589641000000     		ar = 35924.1182487867m²