Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68656 / 48304
↖ ↑ ↗
← N 42.714732°
E  8.569336°		 ← 224.36 m → N 42.714732°
E  8.572082°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
N 42.712714°
E  8.569336°		 ← 224.37 m →
50 359 m²		 N 42.712714°
E  8.572082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523807525634766 y=0.368534088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523807525634766 × 217)
    floor (0.523807525634766 × 131072)
    floor (68656.5)     		tx = 68656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368534088134766 × 217)
    floor (0.368534088134766 × 131072)
    floor (48304.5)     		ty = 48304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68656 / 48304 ti = "17/68656/48304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68656/48304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68656 ÷ 217
    68656 ÷ 131072     		x = 0.5238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48304 ÷ 217
    48304 ÷ 131072     		y = 0.3685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3685302734375 × 2 - 1) × π
    0.262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.826048654252808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14956313} λ = 0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826048654252808))-π/2
    2×atan(2.28427492440141)-π/2
    2×1.15815452126014-π/2
    2.31630904252028-1.57079632675     		φ = 0.74551272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74551272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.714732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68656 KachelY 48304 0.14956313 0.74551272 8.569336 42.714732
    Oben rechts KachelX + 1 68657 KachelY 48304 0.14961106 0.74551272 8.572082 42.714732
    Unten links KachelX 68656 KachelY + 1 48305 0.14956313 0.74547749 8.569336 42.712714
    Unten rechts KachelX + 1 68657 KachelY + 1 48305 0.14961106 0.74547749 8.572082 42.712714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74551272-0.74547749) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dl = 224.450330000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74551272-0.74547749) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dr = 224.450330000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14956313-0.14961106) × cos(0.74551272) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.734740196069302 × 6371000     		do = 224.361757794327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14956313-0.14961106) × cos(0.74547749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.734764093835062 × 6371000     		du = 224.369055264592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74551272)-sin(0.74547749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734740196069302-0.734764093835062)×R²
    abs(0.14961106-0.14956313)×2.38977657600614e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.38977657600614e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.38977657600614e-05×40589641000000     		ar = 50358.889541348m²