Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68655 / 64633
↖ ↑ ↗
← N  2.479389°
E  8.566589°		 ← 305.14 m → N  2.479389°
E  8.569336°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N  2.476646°
E  8.566589°		 ← 305.14 m →
93 100 m²		 N  2.476646°
E  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523799896240234 y=0.493114471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523799896240234 × 217)
    floor (0.523799896240234 × 131072)
    floor (68655.5)     		tx = 68655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493114471435547 × 217)
    floor (0.493114471435547 × 131072)
    floor (64633.5)     		ty = 64633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68655 / 64633 ti = "17/68655/64633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68655/64633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68655 ÷ 217
    68655 ÷ 131072     		x = 0.523796081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64633 ÷ 217
    64633 ÷ 131072     		y = 0.493110656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523796081542969 × 2 - 1) × π
    0.0475921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14951519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493110656738281 × 2 - 1) × π
    0.0137786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0432870203569107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14951519} λ = 0.14951519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0432870203569107))-π/2
    2×atan(1.04423756928206)-π/2
    2×0.80703491759439-π/2
    1.61406983518878-1.57079632675     		φ = 0.04327351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14951519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.566589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04327351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.479389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68655 KachelY 64633 0.14951519 0.04327351 8.566589 2.479389
    Oben rechts KachelX + 1 68656 KachelY 64633 0.14956313 0.04327351 8.569336 2.479389
    Unten links KachelX 68655 KachelY + 1 64634 0.14951519 0.04322562 8.566589 2.476646
    Unten rechts KachelX + 1 68656 KachelY + 1 64634 0.14956313 0.04322562 8.569336 2.476646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04327351-0.04322562) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04327351-0.04322562) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14951519-0.14956313) × cos(0.04327351) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999063847766115 × 6371000     		do = 305.13981501119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14951519-0.14956313) × cos(0.04322562) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999065918342131 × 6371000     		du = 305.140447418402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04327351)-sin(0.04322562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999063847766115-0.999065918342131)×R²
    abs(0.14956313-0.14951519)×2.07057601608884e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.07057601608884e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07057601608884e-06×40589641000000     		ar = 93100.4480089681m²