Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68654 / 43887
↖ ↑ ↗
← N 50.987828°
E  8.563843°		 ← 192.26 m → N 50.987828°
E  8.566589°		 →
↑
192.28 m
↓
↑
192.28 m
↓
N 50.986099°
E  8.563843°		 ← 192.27 m →
36 968 m²		 N 50.986099°
E  8.566589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523792266845703 y=0.334835052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523792266845703 × 217)
    floor (0.523792266845703 × 131072)
    floor (68654.5)     		tx = 68654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334835052490234 × 217)
    floor (0.334835052490234 × 131072)
    floor (43887.5)     		ty = 43887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68654 / 43887 ti = "17/68654/43887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68654/43887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68654 ÷ 217
    68654 ÷ 131072     		x = 0.523788452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43887 ÷ 217
    43887 ÷ 131072     		y = 0.334831237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523788452148438 × 2 - 1) × π
    0.047576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14946725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334831237792969 × 2 - 1) × π
    0.330337524414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.0377859398746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14946725} λ = 0.14946725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0377859398746))-π/2
    2×atan(2.82295988715795)-π/2
    2×1.23035090102779-π/2
    2.46070180205559-1.57079632675     		φ = 0.88990548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14946725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.563843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88990548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.987828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68654 KachelY 43887 0.14946725 0.88990548 8.563843 50.987828
    Oben rechts KachelX + 1 68655 KachelY 43887 0.14951519 0.88990548 8.566589 50.987828
    Unten links KachelX 68654 KachelY + 1 43888 0.14946725 0.88987530 8.563843 50.986099
    Unten rechts KachelX + 1 68655 KachelY + 1 43888 0.14951519 0.88987530 8.566589 50.986099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88990548-0.88987530) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dl = 192.276779999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88990548-0.88987530) × R
    3.01799999999908e-05 × 6371000     		dr = 192.276779999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14946725-0.14951519) × cos(0.88990548) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629485472583571 × 6371000     		do = 192.261066283072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14946725-0.14951519) × cos(0.88987530) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629508922526655 × 6371000     		du = 192.268228499292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88990548)-sin(0.88987530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629485472583571-0.629508922526655)×R²
    abs(0.14951519-0.14946725)×2.34499430847857e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34499430847857e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34499430847857e-05×40589641000000     		ar = 36968.0273111583m²