Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6865 / 2178
↖ ↑ ↗
← N 78.621339°
W 29.157715°		 ← 482.04 m → N 78.621339°
W 29.135742°		 →
↑
482.09 m
↓
↑
482.09 m
↓
N 78.617003°
W 29.157715°		 ← 482.22 m →
232 432 m²		 N 78.617003°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419036865234375 y=0.132965087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419036865234375 × 214)
    floor (0.419036865234375 × 16384)
    floor (6865.5)     		tx = 6865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132965087890625 × 214)
    floor (0.132965087890625 × 16384)
    floor (2178.5)     		ty = 2178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6865 / 2178 ti = "14/6865/2178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6865/2178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6865 ÷ 214
    6865 ÷ 16384     		x = 0.41900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2178 ÷ 214
    2178 ÷ 16384     		y = 0.1329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.1619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50889813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1329345703125 × 2 - 1) × π
    0.734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30634011452014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50889813} λ = -0.50889813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30634011452014))-π/2
    2×atan(10.0376208045213)-π/2
    2×1.47149877521113-π/2
    2.94299755042227-1.57079632675     		φ = 1.37220122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50889813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.157715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37220122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.621339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6865 KachelY 2178 -0.50889813 1.37220122 -29.157715 78.621339
    Oben rechts KachelX + 1 6866 KachelY 2178 -0.50851463 1.37220122 -29.135742 78.621339
    Unten links KachelX 6865 KachelY + 1 2179 -0.50889813 1.37212555 -29.157715 78.617003
    Unten rechts KachelX + 1 6866 KachelY + 1 2179 -0.50851463 1.37212555 -29.135742 78.617003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37220122-1.37212555) × R
    7.56699999999721e-05 × 6371000     		dl = 482.093569999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37220122-1.37212555) × R
    7.56699999999721e-05 × 6371000     		dr = 482.093569999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50889813--0.50851463) × cos(1.37220122) × R
    0.000383499999999981 × 0.197292246312964 × 6371000     		do = 482.039903633146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50889813--0.50851463) × cos(1.37212555) × R
    0.000383499999999981 × 0.197366428432994 × 6371000     		du = 482.2211512121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37220122)-sin(1.37212555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197292246312964-0.197366428432994)×R²
    abs(-0.50851463--0.50889813)×7.41821200301307e-05×R²
    0.000383499999999981×7.41821200301307e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.41821200301307e-05×40589641000000     		ar = 232432.02728196m²