Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6865 / 1809
↖ ↑ ↗
← N 80.114793°
W 29.157715°		 ← 419.45 m → N 80.114793°
W 29.135742°		 →
↑
419.53 m
↓
↑
419.53 m
↓
N 80.111020°
W 29.157715°		 ← 419.61 m →
176 005 m²		 N 80.111020°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419036865234375 y=0.110443115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419036865234375 × 214)
    floor (0.419036865234375 × 16384)
    floor (6865.5)     		tx = 6865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110443115234375 × 214)
    floor (0.110443115234375 × 16384)
    floor (1809.5)     		ty = 1809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6865 / 1809 ti = "14/6865/1809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6865/1809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6865 ÷ 214
    6865 ÷ 16384     		x = 0.41900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1809 ÷ 214
    1809 ÷ 16384     		y = 0.11041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.1619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50889813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11041259765625 × 2 - 1) × π
    0.7791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44784984219855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50889813} λ = -0.50889813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44784984219855))-π/2
    2×atan(11.5634567134284)-π/2
    2×1.48453161721315-π/2
    2.96906323442631-1.57079632675     		φ = 1.39826691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50889813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.157715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39826691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.114793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6865 KachelY 1809 -0.50889813 1.39826691 -29.157715 80.114793
    Oben rechts KachelX + 1 6866 KachelY 1809 -0.50851463 1.39826691 -29.135742 80.114793
    Unten links KachelX 6865 KachelY + 1 1810 -0.50889813 1.39820106 -29.157715 80.111020
    Unten rechts KachelX + 1 6866 KachelY + 1 1810 -0.50851463 1.39820106 -29.135742 80.111020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39826691-1.39820106) × R
    6.58499999999229e-05 × 6371000     		dl = 419.530349999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39826691-1.39820106) × R
    6.58499999999229e-05 × 6371000     		dr = 419.530349999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50889813--0.50851463) × cos(1.39826691) × R
    0.000383499999999981 × 0.171674759861153 × 6371000     		do = 419.449249761398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50889813--0.50851463) × cos(1.39820106) × R
    0.000383499999999981 × 0.171739631858845 × 6371000     		du = 419.60775011861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39826691)-sin(1.39820106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171674759861153-0.171739631858845)×R²
    abs(-0.50851463--0.50889813)×6.48719976916734e-05×R²
    0.000383499999999981×6.48719976916734e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.48719976916734e-05×40589641000000     		ar = 176004.938477803m²