Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68649 / 43818
↖ ↑ ↗
← N 51.106971°
E  8.550110°		 ← 191.77 m → N 51.106971°
E  8.552857°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
N 51.105247°
E  8.550110°		 ← 191.77 m →
36 775 m²		 N 51.105247°
E  8.552857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523754119873047 y=0.334308624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523754119873047 × 217)
    floor (0.523754119873047 × 131072)
    floor (68649.5)     		tx = 68649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334308624267578 × 217)
    floor (0.334308624267578 × 131072)
    floor (43818.5)     		ty = 43818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68649 / 43818 ti = "17/68649/43818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68649/43818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68649 ÷ 217
    68649 ÷ 131072     		x = 0.523750305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43818 ÷ 217
    43818 ÷ 131072     		y = 0.334304809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523750305175781 × 2 - 1) × π
    0.0475006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14922757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334304809570312 × 2 - 1) × π
    0.331390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04109358594838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14922757} λ = 0.14922757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04109358594838))-π/2
    2×atan(2.83231269871331)-π/2
    2×1.23139062120397-π/2
    2.46278124240794-1.57079632675     		φ = 0.89198492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14922757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.550110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89198492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.106971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68649 KachelY 43818 0.14922757 0.89198492 8.550110 51.106971
    Oben rechts KachelX + 1 68650 KachelY 43818 0.14927551 0.89198492 8.552857 51.106971
    Unten links KachelX 68649 KachelY + 1 43819 0.14922757 0.89195482 8.550110 51.105247
    Unten rechts KachelX + 1 68650 KachelY + 1 43819 0.14927551 0.89195482 8.552857 51.105247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89198492-0.89195482) × R
    3.00999999999219e-05 × 6371000     		dl = 191.767099999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89198492-0.89195482) × R
    3.00999999999219e-05 × 6371000     		dr = 191.767099999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14922757-0.14927551) × cos(0.89198492) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627868362421286 × 6371000     		do = 191.767159215095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14922757-0.14927551) × cos(0.89195482) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627891789555262 × 6371000     		du = 191.774314464826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89198492)-sin(0.89195482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627868362421286-0.627891789555262)×R²
    abs(0.14927551-0.14922757)×2.34271339766279e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34271339766279e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34271339766279e-05×40589641000000     		ar = 36775.3180713628m²