Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68649 / 43815
↖ ↑ ↗
← N 51.112144°
E  8.550110°		 ← 191.75 m → N 51.112144°
E  8.552857°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
N 51.110420°
E  8.550110°		 ← 191.75 m →
36 759 m²		 N 51.110420°
E  8.552857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523754119873047 y=0.334285736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523754119873047 × 217)
    floor (0.523754119873047 × 131072)
    floor (68649.5)     		tx = 68649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334285736083984 × 217)
    floor (0.334285736083984 × 131072)
    floor (43815.5)     		ty = 43815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68649 / 43815 ti = "17/68649/43815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68649/43815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68649 ÷ 217
    68649 ÷ 131072     		x = 0.523750305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43815 ÷ 217
    43815 ÷ 131072     		y = 0.334281921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523750305175781 × 2 - 1) × π
    0.0475006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14922757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334281921386719 × 2 - 1) × π
    0.331436157226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04123739664724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14922757} λ = 0.14922757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04123739664724))-π/2
    2×atan(2.83272004487157)-π/2
    2×1.23143576577157-π/2
    2.46287153154314-1.57079632675     		φ = 0.89207520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14922757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.550110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89207520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.112144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68649 KachelY 43815 0.14922757 0.89207520 8.550110 51.112144
    Oben rechts KachelX + 1 68650 KachelY 43815 0.14927551 0.89207520 8.552857 51.112144
    Unten links KachelX 68649 KachelY + 1 43816 0.14922757 0.89204511 8.550110 51.110420
    Unten rechts KachelX + 1 68650 KachelY + 1 43816 0.14927551 0.89204511 8.552857 51.110420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89207520-0.89204511) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89207520-0.89204511) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14922757-0.14927551) × cos(0.89207520) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627798093173835 × 6371000     		do = 191.745697178193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14922757-0.14927551) × cos(0.89204511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.627821514230362 × 6371000     		du = 191.752850571714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89207520)-sin(0.89204511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627798093173835-0.627821514230362)×R²
    abs(0.14927551-0.14922757)×2.34210565267512e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34210565267512e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34210565267512e-05×40589641000000     		ar = 36758.9858345931m²