Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68648 / 43866
↖ ↑ ↗
← N 51.024121°
E  8.547363°		 ← 192.11 m → N 51.024121°
E  8.550110°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
N 51.022394°
E  8.547363°		 ← 192.12 m →
36 902 m²		 N 51.022394°
E  8.550110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523746490478516 y=0.334674835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523746490478516 × 217)
    floor (0.523746490478516 × 131072)
    floor (68648.5)     		tx = 68648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334674835205078 × 217)
    floor (0.334674835205078 × 131072)
    floor (43866.5)     		ty = 43866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68648 / 43866 ti = "17/68648/43866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68648/43866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68648 ÷ 217
    68648 ÷ 131072     		x = 0.52374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43866 ÷ 217
    43866 ÷ 131072     		y = 0.334671020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52374267578125 × 2 - 1) × π
    0.0474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14917963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334671020507812 × 2 - 1) × π
    0.330657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03879261476662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14917963} λ = 0.14917963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03879261476662))-π/2
    2×atan(2.82580312086341)-π/2
    2×1.2306676207335-π/2
    2.461335241467-1.57079632675     		φ = 0.89053891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14917963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89053891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.024121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68648 KachelY 43866 0.14917963 0.89053891 8.547363 51.024121
    Oben rechts KachelX + 1 68649 KachelY 43866 0.14922757 0.89053891 8.550110 51.024121
    Unten links KachelX 68648 KachelY + 1 43867 0.14917963 0.89050876 8.547363 51.022394
    Unten rechts KachelX + 1 68649 KachelY + 1 43867 0.14922757 0.89050876 8.550110 51.022394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89053891-0.89050876) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dl = 192.085649999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89053891-0.89050876) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dr = 192.085649999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14917963-0.14922757) × cos(0.89053891) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628993163460334 × 6371000     		do = 192.110702404799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14917963-0.14922757) × cos(0.89050876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629016602111004 × 6371000     		du = 192.117861172024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89053891)-sin(0.89050876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628993163460334-0.629016602111004)×R²
    abs(0.14922757-0.14917963)×2.34386506697826e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34386506697826e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34386506697826e-05×40589641000000     		ar = 36902.3966945517m²