Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68646 / 43350
↖ ↑ ↗
← N 51.907002°
E  8.541870°		 ← 188.39 m → N 51.907002°
E  8.544616°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
N 51.905307°
E  8.541870°		 ← 188.40 m →
35 504 m²		 N 51.905307°
E  8.544616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523731231689453 y=0.330738067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523731231689453 × 217)
    floor (0.523731231689453 × 131072)
    floor (68646.5)     		tx = 68646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330738067626953 × 217)
    floor (0.330738067626953 × 131072)
    floor (43350.5)     		ty = 43350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68646 / 43350 ti = "17/68646/43350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68646/43350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68646 ÷ 217
    68646 ÷ 131072     		x = 0.523727416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43350 ÷ 217
    43350 ÷ 131072     		y = 0.330734252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523727416992188 × 2 - 1) × π
    0.047454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14908376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330734252929688 × 2 - 1) × π
    0.338531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06352805497057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14908376} λ = 0.14908376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06352805497057))-π/2
    2×atan(2.89657224950559)-π/2
    2×1.23837220726934-π/2
    2.47674441453868-1.57079632675     		φ = 0.90594809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14908376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.541870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90594809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.907002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68646 KachelY 43350 0.14908376 0.90594809 8.541870 51.907002
    Oben rechts KachelX + 1 68647 KachelY 43350 0.14913169 0.90594809 8.544616 51.907002
    Unten links KachelX 68646 KachelY + 1 43351 0.14908376 0.90591851 8.541870 51.905307
    Unten rechts KachelX + 1 68647 KachelY + 1 43351 0.14913169 0.90591851 8.544616 51.905307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90594809-0.90591851) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90594809-0.90591851) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14908376-0.14913169) × cos(0.90594809) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.61693970060901 × 6371000     		do = 188.389959365566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14908376-0.14913169) × cos(0.90591851) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.616962980107413 × 6371000     		du = 188.397068040455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90594809)-sin(0.90591851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61693970060901-0.616962980107413)×R²
    abs(0.14913169-0.14908376)×2.32794984033058e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32794984033058e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32794984033058e-05×40589641000000     		ar = 35503.5451447506m²