Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68644 / 43821
↖ ↑ ↗
← N 51.101797°
E  8.536377°		 ← 191.79 m → N 51.101797°
E  8.539123°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 51.100072°
E  8.536377°		 ← 191.80 m →
36 792 m²		 N 51.100072°
E  8.539123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523715972900391 y=0.334331512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523715972900391 × 217)
    floor (0.523715972900391 × 131072)
    floor (68644.5)     		tx = 68644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334331512451172 × 217)
    floor (0.334331512451172 × 131072)
    floor (43821.5)     		ty = 43821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68644 / 43821 ti = "17/68644/43821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68644/43821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68644 ÷ 217
    68644 ÷ 131072     		x = 0.523712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43821 ÷ 217
    43821 ÷ 131072     		y = 0.334327697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523712158203125 × 2 - 1) × π
    0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334327697753906 × 2 - 1) × π
    0.331344604492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04094977524952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14898788} λ = 0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04094977524952))-π/2
    2×atan(2.83190541113158)-π/2
    2×1.23134547158302-π/2
    2.46269094316605-1.57079632675     		φ = 0.89189462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89189462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.101797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68644 KachelY 43821 0.14898788 0.89189462 8.536377 51.101797
    Oben rechts KachelX + 1 68645 KachelY 43821 0.14903582 0.89189462 8.539123 51.101797
    Unten links KachelX 68644 KachelY + 1 43822 0.14898788 0.89186451 8.536377 51.100072
    Unten rechts KachelX + 1 68645 KachelY + 1 43822 0.14903582 0.89186451 8.539123 51.100072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89189462-0.89186451) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89189462-0.89186451) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14898788-0.14903582) × cos(0.89189462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627938642116566 × 6371000     		do = 191.788624443144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14898788-0.14903582) × cos(0.89186451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62796207532629 × 6371000     		du = 191.795781548564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89189462)-sin(0.89186451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627938642116566-0.62796207532629)×R²
    abs(0.14903582-0.14898788)×2.34332097237555e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34332097237555e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34332097237555e-05×40589641000000     		ar = 36791.653655179m²