Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68643 / 43939
↖ ↑ ↗
← N 50.897837°
E  8.533631°		 ← 192.59 m → N 50.897837°
E  8.536377°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 50.896104°
E  8.533631°		 ← 192.60 m →
37 106 m²		 N 50.896104°
E  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523708343505859 y=0.335231781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523708343505859 × 217)
    floor (0.523708343505859 × 131072)
    floor (68643.5)     		tx = 68643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335231781005859 × 217)
    floor (0.335231781005859 × 131072)
    floor (43939.5)     		ty = 43939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68643 / 43939 ti = "17/68643/43939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68643/43939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68643 ÷ 217
    68643 ÷ 131072     		x = 0.523704528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43939 ÷ 217
    43939 ÷ 131072     		y = 0.335227966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523704528808594 × 2 - 1) × π
    0.0474090576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14893995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335227966308594 × 2 - 1) × π
    0.329544067382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03529322109435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14893995} λ = 0.14893995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03529322109435))-π/2
    2×atan(2.81593180518648)-π/2
    2×1.22956557592393-π/2
    2.45913115184786-1.57079632675     		φ = 0.88833483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14893995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.533631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88833483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.897837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68643 KachelY 43939 0.14893995 0.88833483 8.533631 50.897837
    Oben rechts KachelX + 1 68644 KachelY 43939 0.14898788 0.88833483 8.536377 50.897837
    Unten links KachelX 68643 KachelY + 1 43940 0.14893995 0.88830459 8.533631 50.896104
    Unten rechts KachelX + 1 68644 KachelY + 1 43940 0.14898788 0.88830459 8.536377 50.896104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88833483-0.88830459) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88833483-0.88830459) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14893995-0.14898788) × cos(0.88833483) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630705109923707 × 6371000     		do = 192.593392697683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14893995-0.14898788) × cos(0.88830459) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630728576558529 × 6371000     		du = 192.600558516929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88833483)-sin(0.88830459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630705109923707-0.630728576558529)×R²
    abs(0.14898788-0.14893995)×2.34666348218893e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34666348218893e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34666348218893e-05×40589641000000     		ar = 37105.5484301902m²