Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68642 / 43449
↖ ↑ ↗
← N 51.738935°
E  8.530884°		 ← 189.13 m → N 51.738935°
E  8.533631°		 →
↑
189.09 m
↓
↑
189.09 m
↓
N 51.737235°
E  8.530884°		 ← 189.14 m →
35 764 m²		 N 51.737235°
E  8.533631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523700714111328 y=0.331493377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523700714111328 × 217)
    floor (0.523700714111328 × 131072)
    floor (68642.5)     		tx = 68642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331493377685547 × 217)
    floor (0.331493377685547 × 131072)
    floor (43449.5)     		ty = 43449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68642 / 43449 ti = "17/68642/43449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68642/43449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68642 ÷ 217
    68642 ÷ 131072     		x = 0.523696899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43449 ÷ 217
    43449 ÷ 131072     		y = 0.331489562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523696899414062 × 2 - 1) × π
    0.047393798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14889201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331489562988281 × 2 - 1) × π
    0.337020874023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05878230190818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14889201} λ = 0.14889201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05878230190818))-π/2
    2×atan(2.88285839989277)-π/2
    2×1.23690555038046-π/2
    2.47381110076092-1.57079632675     		φ = 0.90301477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14889201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.530884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90301477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.738935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68642 KachelY 43449 0.14889201 0.90301477 8.530884 51.738935
    Oben rechts KachelX + 1 68643 KachelY 43449 0.14893995 0.90301477 8.533631 51.738935
    Unten links KachelX 68642 KachelY + 1 43450 0.14889201 0.90298509 8.530884 51.737235
    Unten rechts KachelX + 1 68643 KachelY + 1 43450 0.14893995 0.90298509 8.533631 51.737235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90301477-0.90298509) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dl = 189.091279999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90301477-0.90298509) × R
    2.96799999999209e-05 × 6371000     		dr = 189.091279999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14889201-0.14893995) × cos(0.90301477) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.619245596526559 × 6371000     		do = 189.133544560851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14889201-0.14893995) × cos(0.90298509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.619268900911396 × 6371000     		du = 189.140662319835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90301477)-sin(0.90298509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619245596526559-0.619268900911396)×R²
    abs(0.14893995-0.14889201)×2.33043848377745e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33043848377745e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33043848377745e-05×40589641000000     		ar = 35764.1769875531m²