Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68640 / 72672
↖ ↑ ↗
← S 19.228177°
E  8.525391°		 ← 288.33 m → S 19.228177°
E  8.528137°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
S 19.230770°
E  8.525391°		 ← 288.32 m →
83 157 m²		 S 19.230770°
E  8.528137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523685455322266 y=0.554447174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523685455322266 × 217)
    floor (0.523685455322266 × 131072)
    floor (68640.5)     		tx = 68640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554447174072266 × 217)
    floor (0.554447174072266 × 131072)
    floor (72672.5)     		ty = 72672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68640 / 72672 ti = "17/68640/72672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68640/72672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68640 ÷ 217
    68640 ÷ 131072     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72672 ÷ 217
    72672 ÷ 131072     		y = 0.554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.342077715688721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342077715688721))-π/2
    2×atan(0.710293001654316)-π/2
    2×0.617600666787363-π/2
    1.23520133357473-1.57079632675     		φ = -0.33559499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33559499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.228177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68640 KachelY 72672 0.14879614 -0.33559499 8.525391 -19.228177
    Oben rechts KachelX + 1 68641 KachelY 72672 0.14884407 -0.33559499 8.528137 -19.228177
    Unten links KachelX 68640 KachelY + 1 72673 0.14879614 -0.33564026 8.525391 -19.230770
    Unten rechts KachelX + 1 68641 KachelY + 1 72673 0.14884407 -0.33564026 8.528137 -19.230770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33559499--0.33564026) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dl = 288.415170000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33559499--0.33564026) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dr = 288.415170000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14884407) × cos(-0.33559499) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944214528108996 × 6371000     		do = 288.327265058864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14884407) × cos(-0.33564026) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944199618325915 × 6371000     		du = 288.322712177236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33559499)-sin(-0.33564026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944214528108996-0.944199618325915)×R²
    abs(0.14884407-0.14879614)×1.49097830810518e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49097830810518e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49097830810518e-05×40589641000000     		ar = 83157.3006218388m²