Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6864 / 7857
↖ ↑ ↗
← N 79.511662°
W142.294922°		 ← 111.20 m → N 79.511662°
W142.289429°		 →
↑
111.17 m
↓
↑
111.17 m
↓
N 79.510662°
W142.294922°		 ← 111.21 m →
12 363 m²		 N 79.510662°
W142.289429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104743957519531 y=0.119895935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104743957519531 × 216)
    floor (0.104743957519531 × 65536)
    floor (6864.5)     		tx = 6864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119895935058594 × 216)
    floor (0.119895935058594 × 65536)
    floor (7857.5)     		ty = 7857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6864 / 7857 ti = "16/6864/7857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6864/7857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6864 ÷ 216
    6864 ÷ 65536     		x = 0.104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7857 ÷ 216
    7857 ÷ 65536     		y = 0.119888305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.79052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.48351490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119888305664062 × 2 - 1) × π
    0.760223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38831221287044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48351490} λ = -2.48351490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38831221287044))-π/2
    2×atan(10.8950898239129)-π/2
    2×1.47926830858365-π/2
    2.95853661716731-1.57079632675     		φ = 1.38774029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48351490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38774029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.511662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6864 KachelY 7857 -2.48351490 1.38774029 -142.294922 79.511662
    Oben rechts KachelX + 1 6865 KachelY 7857 -2.48341902 1.38774029 -142.289429 79.511662
    Unten links KachelX 6864 KachelY + 1 7858 -2.48351490 1.38772284 -142.294922 79.510662
    Unten rechts KachelX + 1 6865 KachelY + 1 7858 -2.48341902 1.38772284 -142.289429 79.510662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38774029-1.38772284) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dl = 111.173950000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38774029-1.38772284) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dr = 111.173950000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48351490--2.48341902) × cos(1.38774029) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182035395261115 × 6371000     		do = 111.196590607564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48351490--2.48341902) × cos(1.38772284) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182052553678423 × 6371000     		du = 111.207071852171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38774029)-sin(1.38772284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182035395261115-0.182052553678423)×R²
    abs(-2.48341902--2.48351490)×1.71584173079276e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71584173079276e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71584173079276e-05×40589641000000     		ar = 12362.7468254943m²