Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6864 / 2179
↖ ↑ ↗
← N 78.617003°
W 29.179687°		 ← 482.21 m → N 78.617003°
W 29.157715°		 →
↑
482.28 m
↓
↑
482.28 m
↓
N 78.612666°
W 29.179687°		 ← 482.39 m →
232 606 m²		 N 78.612666°
W 29.157715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418975830078125 y=0.133026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418975830078125 × 214)
    floor (0.418975830078125 × 16384)
    floor (6864.5)     		tx = 6864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133026123046875 × 214)
    floor (0.133026123046875 × 16384)
    floor (2179.5)     		ty = 2179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6864 / 2179 ti = "14/6864/2179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6864/2179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6864 ÷ 214
    6864 ÷ 16384     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2179 ÷ 214
    2179 ÷ 16384     		y = 0.13299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13299560546875 × 2 - 1) × π
    0.7340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30595661932318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30595661932318))-π/2
    2×atan(10.0337721631688)-π/2
    2×1.47146093778524-π/2
    2.94292187557047-1.57079632675     		φ = 1.37212555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37212555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.617003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6864 KachelY 2179 -0.50928162 1.37212555 -29.179687 78.617003
    Oben rechts KachelX + 1 6865 KachelY 2179 -0.50889813 1.37212555 -29.157715 78.617003
    Unten links KachelX 6864 KachelY + 1 2180 -0.50928162 1.37204985 -29.179687 78.612666
    Unten rechts KachelX + 1 6865 KachelY + 1 2180 -0.50889813 1.37204985 -29.157715 78.612666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37212555-1.37204985) × R
    7.57000000000119e-05 × 6371000     		dl = 482.284700000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37212555-1.37204985) × R
    7.57000000000119e-05 × 6371000     		dr = 482.284700000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50889813) × cos(1.37212555) × R
    0.000383490000000042 × 0.197366428432994 × 6371000     		do = 482.208576997021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50889813) × cos(1.37204985) × R
    0.000383490000000042 × 0.19744063883236 × 6371000     		du = 482.389888942323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37212555)-sin(1.37204985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197366428432994-0.19744063883236)×R²
    abs(-0.50889813--0.50928162)×7.42103993654764e-05×R²
    0.000383490000000042×7.42103993654764e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.42103993654764e-05×40589641000000     		ar = 232605.540993307m²