Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6864 / 1488
↖ ↑ ↗
← N 81.255032°
W 29.179687°		 ← 371.46 m → N 81.255032°
W 29.157715°		 →
↑
371.56 m
↓
↑
371.56 m
↓
N 81.251691°
W 29.179687°		 ← 371.60 m →
138 044 m²		 N 81.251691°
W 29.157715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418975830078125 y=0.090850830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418975830078125 × 214)
    floor (0.418975830078125 × 16384)
    floor (6864.5)     		tx = 6864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.090850830078125 × 214)
    floor (0.090850830078125 × 16384)
    floor (1488.5)     		ty = 1488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6864 / 1488 ti = "14/6864/1488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6864/1488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6864 ÷ 214
    6864 ÷ 16384     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1488 ÷ 214
    1488 ÷ 16384     		y = 0.0908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908203125 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57095180042285))-π/2
    2×atan(13.0782664183627)-π/2
    2×1.49448208710832-π/2
    2.98896417421665-1.57079632675     		φ = 1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6864 KachelY 1488 -0.50928162 1.41816785 -29.179687 81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 6865 KachelY 1488 -0.50889813 1.41816785 -29.157715 81.255032
    Unten links KachelX 6864 KachelY + 1 1489 -0.50928162 1.41810953 -29.179687 81.251691
    Unten rechts KachelX + 1 6865 KachelY + 1 1489 -0.50889813 1.41810953 -29.157715 81.251691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41816785-1.41810953) × R
    5.83199999999451e-05 × 6371000     		dl = 371.55671999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41816785-1.41810953) × R
    5.83199999999451e-05 × 6371000     		dr = 371.55671999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50889813) × cos(1.41816785) × R
    0.000383490000000042 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 371.458008878996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50889813) × cos(1.41810953) × R
    0.000383490000000042 × 0.152094216852949 × 6371000     		du = 371.598840088634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41816785)-sin(1.41810953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.152094216852949)×R²
    abs(-0.50889813--0.50928162)×5.76417637180859e-05×R²
    0.000383490000000042×5.76417637180859e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.76417637180859e-05×40589641000000     		ar = 138043.882825923m²