Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68638 / 43549
↖ ↑ ↗
← N 51.568534°
E  8.519897°		 ← 189.85 m → N 51.568534°
E  8.522644°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
N 51.566827°
E  8.519897°		 ← 189.85 m →
36 032 m²		 N 51.566827°
E  8.522644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523670196533203 y=0.332256317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523670196533203 × 217)
    floor (0.523670196533203 × 131072)
    floor (68638.5)     		tx = 68638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332256317138672 × 217)
    floor (0.332256317138672 × 131072)
    floor (43549.5)     		ty = 43549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68638 / 43549 ti = "17/68638/43549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68638/43549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68638 ÷ 217
    68638 ÷ 131072     		x = 0.523666381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43549 ÷ 217
    43549 ÷ 131072     		y = 0.332252502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523666381835938 × 2 - 1) × π
    0.047332763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14870026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332252502441406 × 2 - 1) × π
    0.335494995117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.05398861194617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14870026} λ = 0.14870026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05398861194617))-π/2
    2×atan(2.86907194092474)-π/2
    2×1.23541852004382-π/2
    2.47083704008764-1.57079632675     		φ = 0.90004071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14870026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.519897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90004071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.568534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68638 KachelY 43549 0.14870026 0.90004071 8.519897 51.568534
    Oben rechts KachelX + 1 68639 KachelY 43549 0.14874820 0.90004071 8.522644 51.568534
    Unten links KachelX 68638 KachelY + 1 43550 0.14870026 0.90001092 8.519897 51.566827
    Unten rechts KachelX + 1 68639 KachelY + 1 43550 0.14874820 0.90001092 8.522644 51.566827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90004071-0.90001092) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dl = 189.792089999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90004071-0.90001092) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dr = 189.792089999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14870026-0.14874820) × cos(0.90004071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621578078517084 × 6371000     		do = 189.845944598844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14870026-0.14874820) × cos(0.90001092) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.621601414303749 × 6371000     		du = 189.853071948755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90004071)-sin(0.90001092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621578078517084-0.621601414303749)×R²
    abs(0.14874820-0.14870026)×2.33357866650241e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33357866650241e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33357866650241e-05×40589641000000     		ar = 36031.9349634472m²