Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68638 / 43235
↖ ↑ ↗
← N 52.101444°
E  8.519897°		 ← 187.61 m → N 52.101444°
E  8.522644°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
N 52.099757°
E  8.519897°		 ← 187.62 m →
35 190 m²		 N 52.099757°
E  8.522644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523670196533203 y=0.329860687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523670196533203 × 217)
    floor (0.523670196533203 × 131072)
    floor (68638.5)     		tx = 68638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329860687255859 × 217)
    floor (0.329860687255859 × 131072)
    floor (43235.5)     		ty = 43235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68638 / 43235 ti = "17/68638/43235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68638/43235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68638 ÷ 217
    68638 ÷ 131072     		x = 0.523666381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43235 ÷ 217
    43235 ÷ 131072     		y = 0.329856872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523666381835938 × 2 - 1) × π
    0.047332763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14870026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329856872558594 × 2 - 1) × π
    0.340286254882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.06904079842687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14870026} λ = 0.14870026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06904079842687))-π/2
    2×atan(2.91258440411883)-π/2
    2×1.24006903557542-π/2
    2.48013807115083-1.57079632675     		φ = 0.90934174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14870026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.519897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90934174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.101444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68638 KachelY 43235 0.14870026 0.90934174 8.519897 52.101444
    Oben rechts KachelX + 1 68639 KachelY 43235 0.14874820 0.90934174 8.522644 52.101444
    Unten links KachelX 68638 KachelY + 1 43236 0.14870026 0.90931230 8.519897 52.099757
    Unten rechts KachelX + 1 68639 KachelY + 1 43236 0.14874820 0.90931230 8.522644 52.099757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90934174-0.90931230) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dl = 187.562240000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90934174-0.90931230) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dr = 187.562240000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14870026-0.14874820) × cos(0.90934174) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.614265315213046 × 6371000     		do = 187.612438455263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14870026-0.14874820) × cos(0.90931230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.614288546038022 × 6371000     		du = 187.619533747172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90934174)-sin(0.90931230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614265315213046-0.614288546038022)×R²
    abs(0.14874820-0.14870026)×2.32308249763502e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32308249763502e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32308249763502e-05×40589641000000     		ar = 35189.6746156591m²