Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68637 / 69525
↖ ↑ ↗
← S 10.889951°
E  8.517151°		 ← 299.86 m → S 10.889951°
E  8.519897°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.892648°
E  8.517151°		 ← 299.86 m →
89 923 m²		 S 10.892648°
E  8.519897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523662567138672 y=0.530437469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523662567138672 × 217)
    floor (0.523662567138672 × 131072)
    floor (68637.5)     		tx = 68637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530437469482422 × 217)
    floor (0.530437469482422 × 131072)
    floor (69525.5)     		ty = 69525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68637 / 69525 ti = "17/68637/69525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68637/69525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68637 ÷ 217
    68637 ÷ 131072     		x = 0.523658752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69525 ÷ 217
    69525 ÷ 131072     		y = 0.530433654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523658752441406 × 2 - 1) × π
    0.0473175048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14865233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530433654785156 × 2 - 1) × π
    -0.0608673095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.191220292584404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14865233} λ = 0.14865233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191220292584404))-π/2
    2×atan(0.825950617312439)-π/2
    2×0.690365414054554-π/2
    1.38073082810911-1.57079632675     		φ = -0.19006550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14865233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.517151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19006550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.889951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68637 KachelY 69525 0.14865233 -0.19006550 8.517151 -10.889951
    Oben rechts KachelX + 1 68638 KachelY 69525 0.14870026 -0.19006550 8.519897 -10.889951
    Unten links KachelX 68637 KachelY + 1 69526 0.14865233 -0.19011257 8.517151 -10.892648
    Unten rechts KachelX + 1 68638 KachelY + 1 69526 0.14870026 -0.19011257 8.519897 -10.892648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19006550--0.19011257) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19006550--0.19011257) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14865233-0.14870026) × cos(-0.19006550) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981991862753136 × 6371000     		do = 299.863028653789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14865233-0.14870026) × cos(-0.19011257) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981982969049527 × 6371000     		du = 299.8603128544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19006550)-sin(-0.19011257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981991862753136-0.981982969049527)×R²
    abs(0.14870026-0.14865233)×8.89370360979136e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.89370360979136e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.89370360979136e-06×40589641000000     		ar = 89923.4084315296m²