Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68634 / 43533
↖ ↑ ↗
← N 51.595841°
E  8.508911°		 ← 189.69 m → N 51.595841°
E  8.511658°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
N 51.594136°
E  8.508911°		 ← 189.70 m →
35 979 m²		 N 51.594136°
E  8.511658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523639678955078 y=0.332134246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523639678955078 × 217)
    floor (0.523639678955078 × 131072)
    floor (68634.5)     		tx = 68634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332134246826172 × 217)
    floor (0.332134246826172 × 131072)
    floor (43533.5)     		ty = 43533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68634 / 43533 ti = "17/68634/43533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68634/43533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68634 ÷ 217
    68634 ÷ 131072     		x = 0.523635864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43533 ÷ 217
    43533 ÷ 131072     		y = 0.332130432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523635864257812 × 2 - 1) × π
    0.047271728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14850852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332130432128906 × 2 - 1) × π
    0.335739135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0547556023401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14850852} λ = 0.14850852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0547556023401))-π/2
    2×atan(2.87127333565929)-π/2
    2×1.23565682064597-π/2
    2.47131364129193-1.57079632675     		φ = 0.90051731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14850852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.508911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90051731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.595841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68634 KachelY 43533 0.14850852 0.90051731 8.508911 51.595841
    Oben rechts KachelX + 1 68635 KachelY 43533 0.14855645 0.90051731 8.511658 51.595841
    Unten links KachelX 68634 KachelY + 1 43534 0.14850852 0.90048754 8.508911 51.594136
    Unten rechts KachelX + 1 68635 KachelY + 1 43534 0.14855645 0.90048754 8.511658 51.594136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90051731-0.90048754) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90051731-0.90048754) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14850852-0.14855645) × cos(0.90051731) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.621204662270712 × 6371000     		do = 189.692316716455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14850852-0.14855645) × cos(0.90048754) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.621227991207407 × 6371000     		du = 189.699440487922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90051731)-sin(0.90048754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621204662270712-0.621227991207407)×R²
    abs(0.14855645-0.14850852)×2.33289366948775e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.33289366948775e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.33289366948775e-05×40589641000000     		ar = 35978.6062180349m²