Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68632 / 69528
↖ ↑ ↗
← S 10.898042°
E  8.503418°		 ← 299.92 m → S 10.898042°
E  8.506165°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.900739°
E  8.503418°		 ← 299.91 m →
89 940 m²		 S 10.900739°
E  8.506165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523624420166016 y=0.530460357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523624420166016 × 217)
    floor (0.523624420166016 × 131072)
    floor (68632.5)     		tx = 68632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530460357666016 × 217)
    floor (0.530460357666016 × 131072)
    floor (69528.5)     		ty = 69528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68632 / 69528 ti = "17/68632/69528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68632/69528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68632 ÷ 217
    68632 ÷ 131072     		x = 0.52362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69528 ÷ 217
    69528 ÷ 131072     		y = 0.53045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52362060546875 × 2 - 1) × π
    0.0472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14841264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.191364103283264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14841264} λ = 0.14841264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191364103283264))-π/2
    2×atan(0.825831845317486)-π/2
    2×0.690294804545947-π/2
    1.38058960909189-1.57079632675     		φ = -0.19020672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14841264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.503418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19020672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.898042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68632 KachelY 69528 0.14841264 -0.19020672 8.503418 -10.898042
    Oben rechts KachelX + 1 68633 KachelY 69528 0.14846058 -0.19020672 8.506165 -10.898042
    Unten links KachelX 68632 KachelY + 1 69529 0.14841264 -0.19025379 8.503418 -10.900739
    Unten rechts KachelX + 1 68633 KachelY + 1 69529 0.14846058 -0.19025379 8.506165 -10.900739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19020672--0.19025379) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19020672--0.19025379) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14841264-0.14846058) × cos(-0.19020672) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981965173224708 × 6371000     		do = 299.917439686361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14841264-0.14846058) × cos(-0.19025379) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981956272993695 × 6371000     		du = 299.914721326718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19020672)-sin(-0.19025379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981965173224708-0.981956272993695)×R²
    abs(0.14846058-0.14841264)×8.90023101285387e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.90023101285387e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.90023101285387e-06×40589641000000     		ar = 89939.724989669m²