Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68632 / 43511
↖ ↑ ↗
← N 51.633362°
E  8.503418°		 ← 189.58 m → N 51.633362°
E  8.506165°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 51.631657°
E  8.503418°		 ← 189.58 m →
35 932 m²		 N 51.631657°
E  8.506165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523624420166016 y=0.331966400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523624420166016 × 217)
    floor (0.523624420166016 × 131072)
    floor (68632.5)     		tx = 68632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331966400146484 × 217)
    floor (0.331966400146484 × 131072)
    floor (43511.5)     		ty = 43511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68632 / 43511 ti = "17/68632/43511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68632/43511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68632 ÷ 217
    68632 ÷ 131072     		x = 0.52362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43511 ÷ 217
    43511 ÷ 131072     		y = 0.331962585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52362060546875 × 2 - 1) × π
    0.0472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14841264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331962585449219 × 2 - 1) × π
    0.336074829101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05581021413174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14841264} λ = 0.14841264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05581021413174))-π/2
    2×atan(2.87430301166132)-π/2
    2×1.23598425018176-π/2
    2.47196850036352-1.57079632675     		φ = 0.90117217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14841264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.503418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90117217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.633362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68632 KachelY 43511 0.14841264 0.90117217 8.503418 51.633362
    Oben rechts KachelX + 1 68633 KachelY 43511 0.14846058 0.90117217 8.506165 51.633362
    Unten links KachelX 68632 KachelY + 1 43512 0.14841264 0.90114242 8.503418 51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 68633 KachelY + 1 43512 0.14846058 0.90114242 8.506165 51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90117217-0.90114242) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dl = 189.537250000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90117217-0.90114242) × R
    2.97500000000506e-05 × 6371000     		dr = 189.537250000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14841264-0.14846058) × cos(0.90117217) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.620691349136707 × 6371000     		do = 189.575114621662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14841264-0.14846058) × cos(0.90114242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 189.582238787516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90117217)-sin(0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620691349136707-0.620714674498393)×R²
    abs(0.14846058-0.14841264)×2.33253616865881e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33253616865881e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33253616865881e-05×40589641000000     		ar = 35932.2210439509m²