Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68626 / 72689
↖ ↑ ↗
← S 19.272258°
E  8.486938°		 ← 288.31 m → S 19.272258°
E  8.489685°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.274851°
E  8.486938°		 ← 288.31 m →
83 116 m²		 S 19.274851°
E  8.489685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523578643798828 y=0.554576873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523578643798828 × 217)
    floor (0.523578643798828 × 131072)
    floor (68626.5)     		tx = 68626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554576873779297 × 217)
    floor (0.554576873779297 × 131072)
    floor (72689.5)     		ty = 72689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68626 / 72689 ti = "17/68626/72689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68626/72689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68626 ÷ 217
    68626 ÷ 131072     		x = 0.523574829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72689 ÷ 217
    72689 ÷ 131072     		y = 0.554573059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523574829101562 × 2 - 1) × π
    0.047149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14812502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554573059082031 × 2 - 1) × π
    -0.109146118164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.342892642982262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14812502} λ = 0.14812502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342892642982262))-π/2
    2×atan(0.709714400291899)-π/2
    2×0.617215985353668-π/2
    1.23443197070734-1.57079632675     		φ = -0.33636436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14812502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.486938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33636436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.272258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68626 KachelY 72689 0.14812502 -0.33636436 8.486938 -19.272258
    Oben rechts KachelX + 1 68627 KachelY 72689 0.14817296 -0.33636436 8.489685 -19.272258
    Unten links KachelX 68626 KachelY + 1 72690 0.14812502 -0.33640961 8.486938 -19.274851
    Unten rechts KachelX + 1 68627 KachelY + 1 72690 0.14817296 -0.33640961 8.489685 -19.274851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33636436--0.33640961) × R
    4.52500000000522e-05 × 6371000     		dl = 288.287750000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33636436--0.33640961) × R
    4.52500000000522e-05 × 6371000     		dr = 288.287750000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14812502-0.14817296) × cos(-0.33636436) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943960871267728 × 6371000     		do = 288.309947637968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14812502-0.14817296) × cos(-0.33640961) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943945935204918 × 6371000     		du = 288.305385779932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33636436)-sin(-0.33640961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943960871267728-0.943945935204918)×R²
    abs(0.14817296-0.14812502)×1.49360628097783e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49360628097783e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49360628097783e-05×40589641000000     		ar = 83115.5685575629m²