Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68624 / 69518
↖ ↑ ↗
← S 10.871070°
E  8.481446°		 ← 299.88 m → S 10.871070°
E  8.484192°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.873768°
E  8.481446°		 ← 299.88 m →
89 948 m²		 S 10.873768°
E  8.484192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523563385009766 y=0.530384063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523563385009766 × 217)
    floor (0.523563385009766 × 131072)
    floor (68624.5)     		tx = 68624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530384063720703 × 217)
    floor (0.530384063720703 × 131072)
    floor (69518.5)     		ty = 69518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68624 / 69518 ti = "17/68624/69518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68624/69518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68624 ÷ 217
    68624 ÷ 131072     		x = 0.5235595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69518 ÷ 217
    69518 ÷ 131072     		y = 0.530380249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5235595703125 × 2 - 1) × π
    0.047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14802915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530380249023438 × 2 - 1) × π
    -0.060760498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190884734287064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14802915} λ = 0.14802915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190884734287064))-π/2
    2×atan(0.826227818401233)-π/2
    2×0.690530177032846-π/2
    1.38106035406569-1.57079632675     		φ = -0.18973597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14802915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.481446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18973597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.871070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68624 KachelY 69518 0.14802915 -0.18973597 8.481446 -10.871070
    Oben rechts KachelX + 1 68625 KachelY 69518 0.14807708 -0.18973597 8.484192 -10.871070
    Unten links KachelX 68624 KachelY + 1 69519 0.14802915 -0.18978305 8.481446 -10.873768
    Unten rechts KachelX + 1 68625 KachelY + 1 69519 0.14807708 -0.18978305 8.484192 -10.873768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18973597--0.18978305) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18973597--0.18978305) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14802915-0.14807708) × cos(-0.18973597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98205406530207 × 6371000     		do = 299.882022950403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14802915-0.14807708) × cos(-0.18978305) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982045184944069 × 6371000     		du = 299.879311226256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18973597)-sin(-0.18978305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98205406530207-0.982045184944069)×R²
    abs(0.14807708-0.14802915)×8.88035800128417e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.88035800128417e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.88035800128417e-06×40589641000000     		ar = 89948.2105059285m²