Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68622 / 72694
↖ ↑ ↗
← S 19.285221°
E  8.475952°		 ← 288.29 m → S 19.285221°
E  8.478699°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.287813°
E  8.475952°		 ← 288.28 m →
83 109 m²		 S 19.287813°
E  8.478699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523548126220703 y=0.554615020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523548126220703 × 217)
    floor (0.523548126220703 × 131072)
    floor (68622.5)     		tx = 68622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554615020751953 × 217)
    floor (0.554615020751953 × 131072)
    floor (72694.5)     		ty = 72694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68622 / 72694 ti = "17/68622/72694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68622/72694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68622 ÷ 217
    68622 ÷ 131072     		x = 0.523544311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72694 ÷ 217
    72694 ÷ 131072     		y = 0.554611206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523544311523438 × 2 - 1) × π
    0.047088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14793327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554611206054688 × 2 - 1) × π
    -0.109222412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.343132327480362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14793327} λ = 0.14793327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343132327480362))-π/2
    2×atan(0.709544313136512)-π/2
    2×0.617102863435227-π/2
    1.23420572687045-1.57079632675     		φ = -0.33659060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14793327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33659060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.285221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68622 KachelY 72694 0.14793327 -0.33659060 8.475952 -19.285221
    Oben rechts KachelX + 1 68623 KachelY 72694 0.14798121 -0.33659060 8.478699 -19.285221
    Unten links KachelX 68622 KachelY + 1 72695 0.14793327 -0.33663585 8.475952 -19.287813
    Unten rechts KachelX + 1 68623 KachelY + 1 72695 0.14798121 -0.33663585 8.478699 -19.287813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33659060--0.33663585) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33659060--0.33663585) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14793327-0.14798121) × cos(-0.33659060) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943886174928811 × 6371000     		do = 288.28713345338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14793327-0.14798121) × cos(-0.33663585) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943871229202793 × 6371000     		du = 288.282568643951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33659060)-sin(-0.33663585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943886174928811-0.943871229202793)×R²
    abs(0.14798121-0.14793327)×1.4945726018345e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4945726018345e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4945726018345e-05×40589641000000     		ar = 83108.9910820469m²