Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68622 / 43332
↖ ↑ ↗
← N 51.937492°
E  8.475952°		 ← 188.30 m → N 51.937492°
E  8.478699°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 51.935799°
E  8.475952°		 ← 188.31 m →
35 451 m²		 N 51.935799°
E  8.478699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523548126220703 y=0.330600738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523548126220703 × 217)
    floor (0.523548126220703 × 131072)
    floor (68622.5)     		tx = 68622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330600738525391 × 217)
    floor (0.330600738525391 × 131072)
    floor (43332.5)     		ty = 43332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68622 / 43332 ti = "17/68622/43332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68622/43332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68622 ÷ 217
    68622 ÷ 131072     		x = 0.523544311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43332 ÷ 217
    43332 ÷ 131072     		y = 0.330596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523544311523438 × 2 - 1) × π
    0.047088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14793327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330596923828125 × 2 - 1) × π
    0.33880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06439091916373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14793327} λ = 0.14793327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06439091916373))-π/2
    2×atan(2.89907267659195)-π/2
    2×1.23863828449154-π/2
    2.47727656898308-1.57079632675     		φ = 0.90648024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14793327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90648024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.937492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68622 KachelY 43332 0.14793327 0.90648024 8.475952 51.937492
    Oben rechts KachelX + 1 68623 KachelY 43332 0.14798121 0.90648024 8.478699 51.937492
    Unten links KachelX 68622 KachelY + 1 43333 0.14793327 0.90645069 8.475952 51.935799
    Unten rechts KachelX + 1 68623 KachelY + 1 43333 0.14798121 0.90645069 8.478699 51.935799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90648024-0.90645069) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90648024-0.90645069) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14793327-0.14798121) × cos(0.90648024) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.616520805678602 × 6371000     		do = 188.301323299769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14793327-0.14798121) × cos(0.90645069) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.616544071265526 × 6371000     		du = 188.308429208872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90648024)-sin(0.90645069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616520805678602-0.616544071265526)×R²
    abs(0.14798121-0.14793327)×2.3265586924115e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3265586924115e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3265586924115e-05×40589641000000     		ar = 35450.850336162m²