Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68620 / 43276
↖ ↑ ↗
← N 52.032218°
E  8.470459°		 ← 187.90 m → N 52.032218°
E  8.473206°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 52.030528°
E  8.470459°		 ← 187.91 m →
35 304 m²		 N 52.030528°
E  8.473206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523532867431641 y=0.330173492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523532867431641 × 217)
    floor (0.523532867431641 × 131072)
    floor (68620.5)     		tx = 68620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330173492431641 × 217)
    floor (0.330173492431641 × 131072)
    floor (43276.5)     		ty = 43276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68620 / 43276 ti = "17/68620/43276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68620/43276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68620 ÷ 217
    68620 ÷ 131072     		x = 0.523529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43276 ÷ 217
    43276 ÷ 131072     		y = 0.330169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523529052734375 × 2 - 1) × π
    0.04705810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14783740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330169677734375 × 2 - 1) × π
    0.33966064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06707538554245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14783740} λ = 0.14783740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06707538554245))-π/2
    2×atan(2.90686559495552)-π/2
    2×1.23946492490464-π/2
    2.47892984980927-1.57079632675     		φ = 0.90813352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14783740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.470459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90813352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.032218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68620 KachelY 43276 0.14783740 0.90813352 8.470459 52.032218
    Oben rechts KachelX + 1 68621 KachelY 43276 0.14788534 0.90813352 8.473206 52.032218
    Unten links KachelX 68620 KachelY + 1 43277 0.14783740 0.90810403 8.470459 52.030528
    Unten rechts KachelX + 1 68621 KachelY + 1 43277 0.14788534 0.90810403 8.473206 52.030528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90813352-0.90810403) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dl = 187.880790000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90813352-0.90810403) × R
    2.94900000000764e-05 × 6371000     		dr = 187.880790000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14783740-0.14788534) × cos(0.90813352) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615218272505936 × 6371000     		do = 187.903496141633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14783740-0.14788534) × cos(0.90810403) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615241520881068 × 6371000     		du = 187.910596793811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90813352)-sin(0.90810403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615218272505936-0.615241520881068)×R²
    abs(0.14788534-0.14783740)×2.32483751317902e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32483751317902e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32483751317902e-05×40589641000000     		ar = 35304.1243396019m²