Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6862 / 2107
↖ ↑ ↗
← N 78.925053°
W 29.223633°		 ← 469.32 m → N 78.925053°
W 29.201660°		 →
↑
469.42 m
↓
↑
469.42 m
↓
N 78.920832°
W 29.223633°		 ← 469.50 m →
220 349 m²		 N 78.920832°
W 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418853759765625 y=0.128631591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418853759765625 × 214)
    floor (0.418853759765625 × 16384)
    floor (6862.5)     		tx = 6862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128631591796875 × 214)
    floor (0.128631591796875 × 16384)
    floor (2107.5)     		ty = 2107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6862 / 2107 ti = "14/6862/2107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6862/2107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6862 ÷ 214
    6862 ÷ 16384     		x = 0.4188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2107 ÷ 214
    2107 ÷ 16384     		y = 0.12860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12860107421875 × 2 - 1) × π
    0.7427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33356827350433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51004861} λ = -0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33356827350433))-π/2
    2×atan(10.314681549726)-π/2
    2×1.47414918380062-π/2
    2.94829836760123-1.57079632675     		φ = 1.37750204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37750204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.925053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6862 KachelY 2107 -0.51004861 1.37750204 -29.223633 78.925053
    Oben rechts KachelX + 1 6863 KachelY 2107 -0.50966512 1.37750204 -29.201660 78.925053
    Unten links KachelX 6862 KachelY + 1 2108 -0.51004861 1.37742836 -29.223633 78.920832
    Unten rechts KachelX + 1 6863 KachelY + 1 2108 -0.50966512 1.37742836 -29.201660 78.920832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37750204-1.37742836) × R
    7.36800000000759e-05 × 6371000     		dl = 469.415280000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37750204-1.37742836) × R
    7.36800000000759e-05 × 6371000     		dr = 469.415280000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51004861--0.50966512) × cos(1.37750204) × R
    0.000383490000000042 × 0.192092867931392 × 6371000     		do = 469.324135983544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51004861--0.50966512) × cos(1.37742836) × R
    0.000383490000000042 × 0.192165175249029 × 6371000     		du = 469.500798291422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37750204)-sin(1.37742836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192092867931392-0.192165175249029)×R²
    abs(-0.50966512--0.51004861)×7.23073176378264e-05×R²
    0.000383490000000042×7.23073176378264e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.23073176378264e-05×40589641000000     		ar = 220349.384798098m²