Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68619 / 68613
↖ ↑ ↗
← S  8.420753°
E  8.467712°		 ← 302.13 m → S  8.420753°
E  8.470459°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.423470°
E  8.467712°		 ← 302.13 m →
91 278 m²		 S  8.423470°
E  8.470459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523525238037109 y=0.523479461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523525238037109 × 217)
    floor (0.523525238037109 × 131072)
    floor (68619.5)     		tx = 68619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523479461669922 × 217)
    floor (0.523479461669922 × 131072)
    floor (68613.5)     		ty = 68613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68619 / 68613 ti = "17/68619/68613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68619/68613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68619 ÷ 217
    68619 ÷ 131072     		x = 0.523521423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68613 ÷ 217
    68613 ÷ 131072     		y = 0.523475646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523521423339844 × 2 - 1) × π
    0.0470428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14778946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523475646972656 × 2 - 1) × π
    -0.0469512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.147501840130913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14778946} λ = 0.14778946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147501840130913))-π/2
    2×atan(0.86286085054299)-π/2
    2×0.711913228435935-π/2
    1.42382645687187-1.57079632675     		φ = -0.14696987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14778946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.467712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14696987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.420753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68619 KachelY 68613 0.14778946 -0.14696987 8.467712 -8.420753
    Oben rechts KachelX + 1 68620 KachelY 68613 0.14783740 -0.14696987 8.470459 -8.420753
    Unten links KachelX 68619 KachelY + 1 68614 0.14778946 -0.14701729 8.467712 -8.423470
    Unten rechts KachelX + 1 68620 KachelY + 1 68614 0.14783740 -0.14701729 8.470459 -8.423470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14696987--0.14701729) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14696987--0.14701729) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14778946-0.14783740) × cos(-0.14696987) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989219354921251 × 6371000     		do = 302.133053499122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14778946-0.14783740) × cos(-0.14701729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989212409560414 × 6371000     		du = 302.130932207149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14696987)-sin(-0.14701729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989219354921251-0.989212409560414)×R²
    abs(0.14783740-0.14778946)×6.94536083689634e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.94536083689634e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.94536083689634e-06×40589641000000     		ar = 91277.9483901364m²