Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68616 / 69529
↖ ↑ ↗
← S 10.900739°
E  8.459473°		 ← 299.91 m → S 10.900739°
E  8.462219°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.903436°
E  8.459473°		 ← 299.91 m →
89 939 m²		 S 10.903436°
E  8.462219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523502349853516 y=0.530467987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523502349853516 × 217)
    floor (0.523502349853516 × 131072)
    floor (68616.5)     		tx = 68616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530467987060547 × 217)
    floor (0.530467987060547 × 131072)
    floor (69529.5)     		ty = 69529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68616 / 69529 ti = "17/68616/69529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68616/69529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68616 ÷ 217
    68616 ÷ 131072     		x = 0.52349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69529 ÷ 217
    69529 ÷ 131072     		y = 0.530464172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52349853515625 × 2 - 1) × π
    0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530464172363281 × 2 - 1) × π
    -0.0609283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.191412040182884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14764565} λ = 0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191412040182884))-π/2
    2×atan(0.825792258448057)-π/2
    2×0.69027126846963-π/2
    1.38054253693926-1.57079632675     		φ = -0.19025379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19025379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.900739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68616 KachelY 69529 0.14764565 -0.19025379 8.459473 -10.900739
    Oben rechts KachelX + 1 68617 KachelY 69529 0.14769359 -0.19025379 8.462219 -10.900739
    Unten links KachelX 68616 KachelY + 1 69530 0.14764565 -0.19030086 8.459473 -10.903436
    Unten rechts KachelX + 1 68617 KachelY + 1 69530 0.14769359 -0.19030086 8.462219 -10.903436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19025379--0.19030086) × R
    4.70699999999824e-05 × 6371000     		dl = 299.882969999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19025379--0.19030086) × R
    4.70699999999824e-05 × 6371000     		dr = 299.882969999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14764565-0.14769359) × cos(-0.19025379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981956272993695 × 6371000     		do = 299.914721326892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14764565-0.14769359) × cos(-0.19030086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981947370587074 × 6371000     		du = 299.912002302762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19025379)-sin(-0.19030086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981956272993695-0.981947370587074)×R²
    abs(0.14769359-0.14764565)×8.90240662043684e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.90240662043684e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.90240662043684e-06×40589641000000     		ar = 89938.9097002849m²