Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68611 / 72709
↖ ↑ ↗
← S 19.324103°
E  8.445740°		 ← 288.16 m → S 19.324103°
E  8.448486°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
S 19.326695°
E  8.445740°		 ← 288.15 m →
83 054 m²		 S 19.326695°
E  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523464202880859 y=0.554729461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523464202880859 × 217)
    floor (0.523464202880859 × 131072)
    floor (68611.5)     		tx = 68611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554729461669922 × 217)
    floor (0.554729461669922 × 131072)
    floor (72709.5)     		ty = 72709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68611 / 72709 ti = "17/68611/72709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68611/72709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68611 ÷ 217
    68611 ÷ 131072     		x = 0.523460388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72709 ÷ 217
    72709 ÷ 131072     		y = 0.554725646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523460388183594 × 2 - 1) × π
    0.0469207763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14740597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554725646972656 × 2 - 1) × π
    -0.109451293945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.343851380974663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14740597} λ = 0.14740597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343851380974663))-π/2
    2×atan(0.709034296205493)-π/2
    2×0.616763551427035-π/2
    1.23352710285407-1.57079632675     		φ = -0.33726922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14740597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.445740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33726922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.324103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68611 KachelY 72709 0.14740597 -0.33726922 8.445740 -19.324103
    Oben rechts KachelX + 1 68612 KachelY 72709 0.14745390 -0.33726922 8.448486 -19.324103
    Unten links KachelX 68611 KachelY + 1 72710 0.14740597 -0.33731446 8.445740 -19.326695
    Unten rechts KachelX + 1 68612 KachelY + 1 72710 0.14745390 -0.33731446 8.448486 -19.326695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33726922--0.33731446) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33726922--0.33731446) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14740597-0.14745390) × cos(-0.33726922) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.943661829144248 × 6371000     		do = 288.15849178101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14740597-0.14745390) × cos(-0.33731446) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.943646857747007 × 6371000     		du = 288.153920084757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33726922)-sin(-0.33731446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943661829144248-0.943646857747007)×R²
    abs(0.14745390-0.14740597)×1.49713972408261e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49713972408261e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49713972408261e-05×40589641000000     		ar = 83053.545839193m²