Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6861 / 2078
↖ ↑ ↗
← N 79.046791°
W 29.245606°		 ← 464.24 m → N 79.046791°
W 29.223633°		 →
↑
464.32 m
↓
↑
464.32 m
↓
N 79.042615°
W 29.245606°		 ← 464.42 m →
215 596 m²		 N 79.042615°
W 29.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418792724609375 y=0.126861572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418792724609375 × 214)
    floor (0.418792724609375 × 16384)
    floor (6861.5)     		tx = 6861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126861572265625 × 214)
    floor (0.126861572265625 × 16384)
    floor (2078.5)     		ty = 2078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6861 / 2078 ti = "14/6861/2078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6861/2078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6861 ÷ 214
    6861 ÷ 16384     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2078 ÷ 214
    2078 ÷ 16384     		y = 0.1268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1268310546875 × 2 - 1) × π
    0.746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34468963421619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34468963421619))-π/2
    2×atan(10.4300350991316)-π/2
    2×1.47521154206273-π/2
    2.95042308412545-1.57079632675     		φ = 1.37962676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37962676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.046791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6861 KachelY 2078 -0.51043211 1.37962676 -29.245606 79.046791
    Oben rechts KachelX + 1 6862 KachelY 2078 -0.51004861 1.37962676 -29.223633 79.046791
    Unten links KachelX 6861 KachelY + 1 2079 -0.51043211 1.37955388 -29.245606 79.042615
    Unten rechts KachelX + 1 6862 KachelY + 1 2079 -0.51004861 1.37955388 -29.223633 79.042615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37962676-1.37955388) × R
    7.28800000000529e-05 × 6371000     		dl = 464.318480000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37962676-1.37955388) × R
    7.28800000000529e-05 × 6371000     		dr = 464.318480000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51004861) × cos(1.37962676) × R
    0.000383499999999981 × 0.19000728509175 × 6371000     		do = 464.240714508021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51004861) × cos(1.37955388) × R
    0.000383499999999981 × 0.190078836908826 × 6371000     		du = 464.415535524318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37962676)-sin(1.37955388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19000728509175-0.190078836908826)×R²
    abs(-0.51004861--0.51043211)×7.15518170758822e-05×R²
    0.000383499999999981×7.15518170758822e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.15518170758822e-05×40589641000000     		ar = 215596.129324021m²