Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68609 / 72703
↖ ↑ ↗
← S 19.308551°
E  8.440246°		 ← 288.25 m → S 19.308551°
E  8.442993°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
S 19.311143°
E  8.440246°		 ← 288.24 m →
83 079 m²		 S 19.311143°
E  8.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523448944091797 y=0.554683685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523448944091797 × 217)
    floor (0.523448944091797 × 131072)
    floor (68609.5)     		tx = 68609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554683685302734 × 217)
    floor (0.554683685302734 × 131072)
    floor (72703.5)     		ty = 72703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68609 / 72703 ti = "17/68609/72703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68609/72703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68609 ÷ 217
    68609 ÷ 131072     		x = 0.523445129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72703 ÷ 217
    72703 ÷ 131072     		y = 0.554679870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523445129394531 × 2 - 1) × π
    0.0468902587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14731009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554679870605469 × 2 - 1) × π
    -0.109359741210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.343563759576942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14731009} λ = 0.14731009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343563759576942))-π/2
    2×atan(0.709238258971421)-π/2
    2×0.616899266550708-π/2
    1.23379853310142-1.57079632675     		φ = -0.33699779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14731009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.440246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33699779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.308551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68609 KachelY 72703 0.14731009 -0.33699779 8.440246 -19.308551
    Oben rechts KachelX + 1 68610 KachelY 72703 0.14735803 -0.33699779 8.442993 -19.308551
    Unten links KachelX 68609 KachelY + 1 72704 0.14731009 -0.33704303 8.440246 -19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 68610 KachelY + 1 72704 0.14735803 -0.33704303 8.442993 -19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33699779--0.33704303) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33699779--0.33704303) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14731009-0.14735803) × cos(-0.33699779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943751613661663 × 6371000     		do = 288.246034978785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14731009-0.14735803) × cos(-0.33704303) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 288.241465868023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33699779)-sin(-0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943751613661663-0.94373665385257)×R²
    abs(0.14735803-0.14731009)×1.49598090923853e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49598090923853e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49598090923853e-05×40589641000000     		ar = 83078.7782659515m²