Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68607 / 72701
↖ ↑ ↗
← S 19.303367°
E  8.434753°		 ← 288.26 m → S 19.303367°
E  8.437500°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
S 19.305959°
E  8.434753°		 ← 288.25 m →
83 081 m²		 S 19.305959°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523433685302734 y=0.554668426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523433685302734 × 217)
    floor (0.523433685302734 × 131072)
    floor (68607.5)     		tx = 68607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554668426513672 × 217)
    floor (0.554668426513672 × 131072)
    floor (72701.5)     		ty = 72701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68607 / 72701 ti = "17/68607/72701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68607/72701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68607 ÷ 217
    68607 ÷ 131072     		x = 0.523429870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72701 ÷ 217
    72701 ÷ 131072     		y = 0.554664611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523429870605469 × 2 - 1) × π
    0.0468597412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14721422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554664611816406 × 2 - 1) × π
    -0.109329223632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.343467885777702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14721422} λ = 0.14721422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343467885777702))-π/2
    2×atan(0.709306259597562)-π/2
    2×0.616944507794055-π/2
    1.23388901558811-1.57079632675     		φ = -0.33690731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14721422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.434753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33690731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.303367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68607 KachelY 72701 0.14721422 -0.33690731 8.434753 -19.303367
    Oben rechts KachelX + 1 68608 KachelY 72701 0.14726216 -0.33690731 8.437500 -19.303367
    Unten links KachelX 68607 KachelY + 1 72702 0.14721422 -0.33695255 8.434753 -19.305959
    Unten rechts KachelX + 1 68608 KachelY + 1 72702 0.14726216 -0.33695255 8.437500 -19.305959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33690731--0.33695255) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33690731--0.33695255) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14721422-0.14726216) × cos(-0.33690731) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943781527485208 × 6371000     		do = 288.255171430478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14721422-0.14726216) × cos(-0.33695255) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943766571539219 × 6371000     		du = 288.250603499607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33690731)-sin(-0.33695255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943781527485208-0.943766571539219)×R²
    abs(0.14726216-0.14721422)×1.49559459888815e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49559459888815e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49559459888815e-05×40589641000000     		ar = 83081.4117809552m²