Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68605 / 72711
↖ ↑ ↗
← S 19.329286°
E  8.429260°		 ← 288.21 m → S 19.329286°
E  8.432007°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
S 19.331878°
E  8.429260°		 ← 288.20 m →
83 068 m²		 S 19.331878°
E  8.432007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523418426513672 y=0.554744720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523418426513672 × 217)
    floor (0.523418426513672 × 131072)
    floor (68605.5)     		tx = 68605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554744720458984 × 217)
    floor (0.554744720458984 × 131072)
    floor (72711.5)     		ty = 72711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68605 / 72711 ti = "17/68605/72711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68605/72711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68605 ÷ 217
    68605 ÷ 131072     		x = 0.523414611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72711 ÷ 217
    72711 ÷ 131072     		y = 0.554740905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523414611816406 × 2 - 1) × π
    0.0468292236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14711834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554740905761719 × 2 - 1) × π
    -0.109481811523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.343947254773903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14711834} λ = 0.14711834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343947254773903))-π/2
    2×atan(0.708966321652266)-π/2
    2×0.616718315922349-π/2
    1.2334366318447-1.57079632675     		φ = -0.33735969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14711834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.429260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33735969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.329286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68605 KachelY 72711 0.14711834 -0.33735969 8.429260 -19.329286
    Oben rechts KachelX + 1 68606 KachelY 72711 0.14716628 -0.33735969 8.432007 -19.329286
    Unten links KachelX 68605 KachelY + 1 72712 0.14711834 -0.33740493 8.429260 -19.331878
    Unten rechts KachelX + 1 68606 KachelY + 1 72712 0.14716628 -0.33740493 8.432007 -19.331878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33735969--0.33740493) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33735969--0.33740493) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14711834-0.14716628) × cos(-0.33735969) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.943631887728412 × 6371000     		do = 288.209467597192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14711834-0.14716628) × cos(-0.33740493) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.943616912468985 × 6371000     		du = 288.2048937675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33735969)-sin(-0.33740493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943631887728412-0.943616912468985)×R²
    abs(0.14716628-0.14711834)×1.49752594272856e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.49752594272856e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.49752594272856e-05×40589641000000     		ar = 83068.2379874267m²