Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68603 / 68600
↖ ↑ ↗
← S  8.385431°
E  8.423767°		 ← 302.16 m → S  8.385431°
E  8.426514°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.388148°
E  8.423767°		 ← 302.16 m →
91 286 m²		 S  8.388148°
E  8.426514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523403167724609 y=0.523380279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523403167724609 × 217)
    floor (0.523403167724609 × 131072)
    floor (68603.5)     		tx = 68603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523380279541016 × 217)
    floor (0.523380279541016 × 131072)
    floor (68600.5)     		ty = 68600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68603 / 68600 ti = "17/68603/68600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68603/68600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68603 ÷ 217
    68603 ÷ 131072     		x = 0.523399353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68600 ÷ 217
    68600 ÷ 131072     		y = 0.52337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523399353027344 × 2 - 1) × π
    0.0467987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14702247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.146878660435852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14702247} λ = 0.14702247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146878660435852))-π/2
    2×atan(0.863398735486791)-π/2
    2×0.712221473189271-π/2
    1.42444294637854-1.57079632675     		φ = -0.14635338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14702247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.423767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14635338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.385431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68603 KachelY 68600 0.14702247 -0.14635338 8.423767 -8.385431
    Oben rechts KachelX + 1 68604 KachelY 68600 0.14707041 -0.14635338 8.426514 -8.385431
    Unten links KachelX 68603 KachelY + 1 68601 0.14702247 -0.14640080 8.423767 -8.388148
    Unten rechts KachelX + 1 68604 KachelY + 1 68601 0.14707041 -0.14640080 8.426514 -8.388148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14635338--0.14640080) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14635338--0.14640080) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14702247-0.14707041) × cos(-0.14635338) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.989309446559684 × 6371000     		do = 302.160569804634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14702247-0.14707041) × cos(-0.14640080) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.989302530118859 × 6371000     		du = 302.158457345576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14635338)-sin(-0.14640080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989309446559684-0.989302530118859)×R²
    abs(0.14707041-0.14702247)×6.91644082551068e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.91644082551068e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.91644082551068e-06×40589641000000     		ar = 91286.2627530823m²