Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6860 / 2220
↖ ↑ ↗
← N 78.437822°
W 29.267578°		 ← 489.70 m → N 78.437822°
W 29.245606°		 →
↑
489.80 m
↓
↑
489.80 m
↓
N 78.433418°
W 29.267578°		 ← 489.88 m →
239 900 m²		 N 78.433418°
W 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418731689453125 y=0.135528564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418731689453125 × 214)
    floor (0.418731689453125 × 16384)
    floor (6860.5)     		tx = 6860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135528564453125 × 214)
    floor (0.135528564453125 × 16384)
    floor (2220.5)     		ty = 2220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6860 / 2220 ti = "14/6860/2220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6860/2220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6860 ÷ 214
    6860 ÷ 16384     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2220 ÷ 214
    2220 ÷ 16384     		y = 0.135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135498046875 × 2 - 1) × π
    0.72900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2902333162478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2902333162478))-π/2
    2×atan(9.87724193337953)-π/2
    2×1.46989729414963-π/2
    2.93979458829926-1.57079632675     		φ = 1.36899826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36899826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.437822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6860 KachelY 2220 -0.51081560 1.36899826 -29.267578 78.437822
    Oben rechts KachelX + 1 6861 KachelY 2220 -0.51043211 1.36899826 -29.245606 78.437822
    Unten links KachelX 6860 KachelY + 1 2221 -0.51081560 1.36892138 -29.267578 78.433418
    Unten rechts KachelX + 1 6861 KachelY + 1 2221 -0.51043211 1.36892138 -29.245606 78.433418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36899826-1.36892138) × R
    7.68799999999459e-05 × 6371000     		dl = 489.802479999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36899826-1.36892138) × R
    7.68799999999459e-05 × 6371000     		dr = 489.802479999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51043211) × cos(1.36899826) × R
    0.000383490000000042 × 0.20043123386263 × 6371000     		do = 489.69655495118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51043211) × cos(1.36892138) × R
    0.000383490000000042 × 0.200506553203817 × 6371000     		du = 489.88057627954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36899826)-sin(1.36892138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20043123386263-0.200506553203817)×R²
    abs(-0.51043211--0.51081560)×7.53193411867636e-05×R²
    0.000383490000000042×7.53193411867636e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.53193411867636e-05×40589641000000     		ar = 239899.654231576m²