Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6860 / 1787
↖ ↑ ↗
← N 80.197436°
W 29.267578°		 ← 415.97 m → N 80.197436°
W 29.245606°		 →
↑
416.09 m
↓
↑
416.09 m
↓
N 80.193694°
W 29.267578°		 ← 416.12 m →
173 112 m²		 N 80.193694°
W 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418731689453125 y=0.109100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418731689453125 × 214)
    floor (0.418731689453125 × 16384)
    floor (6860.5)     		tx = 6860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109100341796875 × 214)
    floor (0.109100341796875 × 16384)
    floor (1787.5)     		ty = 1787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6860 / 1787 ti = "14/6860/1787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6860/1787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6860 ÷ 214
    6860 ÷ 16384     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1787 ÷ 214
    1787 ÷ 16384     		y = 0.10906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10906982421875 × 2 - 1) × π
    0.7818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45628673653168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45628673653168))-π/2
    2×atan(11.6614290859743)-π/2
    2×1.48525281655003-π/2
    2.97050563310007-1.57079632675     		φ = 1.39970931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39970931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.197436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6860 KachelY 1787 -0.51081560 1.39970931 -29.267578 80.197436
    Oben rechts KachelX + 1 6861 KachelY 1787 -0.51043211 1.39970931 -29.245606 80.197436
    Unten links KachelX 6860 KachelY + 1 1788 -0.51081560 1.39964400 -29.267578 80.193694
    Unten rechts KachelX + 1 6861 KachelY + 1 1788 -0.51043211 1.39964400 -29.245606 80.193694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39970931-1.39964400) × R
    6.53099999998741e-05 × 6371000     		dl = 416.090009999198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39970931-1.39964400) × R
    6.53099999998741e-05 × 6371000     		dr = 416.090009999198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51043211) × cos(1.39970931) × R
    0.000383490000000042 × 0.170253596097048 × 6371000     		do = 415.966104035039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51043211) × cos(1.39964400) × R
    0.000383490000000042 × 0.170317952226229 × 6371000     		du = 416.123339881681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39970931)-sin(1.39964400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170253596097048-0.170317952226229)×R²
    abs(-0.51043211--0.51081560)×6.43561291809036e-05×R²
    0.000383490000000042×6.43561291809036e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.43561291809036e-05×40589641000000     		ar = 173112.052581747m²