Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68597 / 68620
↖ ↑ ↗
← S  8.439771°
E  8.407288°		 ← 302.12 m → S  8.439771°
E  8.410034°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.442488°
E  8.407288°		 ← 302.12 m →
91 273 m²		 S  8.442488°
E  8.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523357391357422 y=0.523532867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523357391357422 × 217)
    floor (0.523357391357422 × 131072)
    floor (68597.5)     		tx = 68597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523532867431641 × 217)
    floor (0.523532867431641 × 131072)
    floor (68620.5)     		ty = 68620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68597 / 68620 ti = "17/68597/68620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68597/68620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68597 ÷ 217
    68597 ÷ 131072     		x = 0.523353576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68620 ÷ 217
    68620 ÷ 131072     		y = 0.523529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523353576660156 × 2 - 1) × π
    0.0467071533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14673485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.04705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147837398428253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14673485} λ = 0.14673485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147837398428253))-π/2
    2×atan(0.862571358998501)-π/2
    2×0.711747262135557-π/2
    1.42349452427111-1.57079632675     		φ = -0.14730180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14673485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.407288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14730180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.439771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68597 KachelY 68620 0.14673485 -0.14730180 8.407288 -8.439771
    Oben rechts KachelX + 1 68598 KachelY 68620 0.14678279 -0.14730180 8.410034 -8.439771
    Unten links KachelX 68597 KachelY + 1 68621 0.14673485 -0.14734922 8.407288 -8.442488
    Unten rechts KachelX + 1 68598 KachelY + 1 68621 0.14678279 -0.14734922 8.410034 -8.442488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14730180--0.14734922) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14730180--0.14734922) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14673485-0.14678279) × cos(-0.14730180) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989170692151261 × 6371000     		do = 302.118190636588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14673485-0.14678279) × cos(-0.14734922) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98916373122043 × 6371000     		du = 302.116064589138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14730180)-sin(-0.14734922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989170692151261-0.98916373122043)×R²
    abs(0.14678279-0.14673485)×6.96093083130123e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.96093083130123e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.96093083130123e-06×40589641000000     		ar = 91273.4574104846m²